Ganzrationale Funktion 3. Grades mit gegebenem Tiefpunkt und gegebener Steigung im Ursprung

Question

Brauche eure Hilfe:

Ganzrationale Funktion 3. Grades hat den Tiefpunkt T(-1 | -1). Die Tangente an das Schaubild im Ursprung hat die Steigung 3/2  . Funktionsterm gesucht

 

Kann mir das jemand "etwas" ausführlicher erklären? Vielen Dank schon mal

Answer 1

3. Grad: f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

f'(x)=3ax^2+2bx+c

Tiefpunkt T(-1 | -1): f(-1)=-1

Tiefpunkt T(-1 | -1): f'(-1)=0

Die Tangente an das Schaubild im Ursprung hat die Steigung 3/2: f'(0)=3/2

Die Tangente an das Schaubild im Ursprung hat die Steigung 3/2: f(0)=0

Du bekommst also das Gleichungssystem:

(I) -a+b-c+d=-1

(II) 3a-2b+c=0

(III) c=3/2

(IV) d=0

Mit c=3/2 und d=0 erhält man

(I) -a+b-3/2=-1 ⇔ b=a+1/2

(II) 3a-2b+3/2=0

(I) in (II) einsetzen:

3a-2*(a+1/2)+3/2=0

3a-2a-1+3/2=0

a+1/2=0

a=-1/2

a=-1/2 in (I) einsetzen:

b=-1/2+1/2=0

Also ist f(x)=-1/2x^3+3/2x

Answer 2

Ganzrationale Funktion 3. Grades hat den Tiefpunkt T(-1 | -1). Die Tangente an das Schaubild im Ursprung hat die Steigung \( \frac{3}{2} \)   . Funktionsterm gesucht

Tiefpunkt T(-1 | -1) →Tiefpunkt T´(-1 | 0)

Ursprung (0|0)  → P(0|1)

\(f(x)=a*(x+1)^2*(x-N)\)

\(f(0)=a*(0+1)^2*(0-N)=-a*N\)

\(-a*N=1→a=-\frac{1}{N}\)

\(f(x)=-\frac{1}{N}*[(x+1)^2*(x-N)]\)

\(f´(x)=-\frac{1}{N}*[(2x+2)*(x-N)+(x+1)^2]\)

\(f´(0)=-\frac{1}{N}*[2*(0-N)+(0+1)^2]\)

\(-\frac{1}{N}*[-2N+1]=\frac{3}{2}\)

\(N=2\)    \(a=-\frac{1}{2}\)

\(f(x)=-\frac{1}{2}*(x+1)^2*(x-2)\)

\(p(x)=-\frac{1}{2}*(x+1)^2*(x-2)-1\)

Comments

Vermutlich war (im Jahr 2013) mit

"etwas" ausführlicher erklären

nicht "möglichst umständlich erklären" gemeint.

Sinnvoller Ansatz: $$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+\dfrac{3}{2}\cdot x$$

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Ein anderer Ansatz zur Lösung ist nicht unbedingt umständlicher.

Ist folgender Ansatz auch umständlicher?

https://www.mathelounge.de/37571/ermitteln-gleichung-funktion-dritten-grades-punktsymmetrisch

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Es ist natürlich schwer zu sagen, was in solchen Fällen umständlicher ist. Bei der hier vorliegenden Aufgabe stellt sich am Ende ja heraus, dass der Graph der gesuchten Funktion symmetrisch zum Ursprung verläuft, der Parameter \(b\) in meinem Ansatz also null sein muss. Wenn man das ohne Rechnung sehen könnte, würde dies die Sache noch mehr vereinfachen.

Grundsätzlich bin ich aber auch der Meinung, dass es oft interessante Alternativen zum allgemeinen Polynomansatz gibt.