Question

v_1,...,v_n seinen Vektoren eines Vektorraumes V, wobei span{v_1,..,v_n}=V gelten soll.

1)Dann nennt man {v_1,...,v_n} ein erzeugenden system von V.

2)dann gehört jede Linearkombination α_1v_1+..+α_nv_n zu V

3)Dann ist dimV=n

4)dann gibt es eine Basis von V, die in {v_1,..,v_n}enthalten ist.

5) dann gibt es eine Basis, die alle v_1,..,v_n enthält

Meine meinung ist hier dass 1,2,3 stimmen und für 4 und 5 keine Ahnung.

Grüße

Comments

Was ist denn der entscheidende Unterschied zwischen einem Erzeugendensystem und einer Basis?

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das weiss ich leider nicht :(

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Man nennt eine Familie \( (v_i)_{i\in I} \subset V\) ein Erzeugendensystem vom Vektorraum \(V\), wenn es für jedes \(v \in V\) Zahlen \( (\lambda_i)_{i\in I}\) gibt, sodass \(v = \sum_{i\in I} \lambda_i v_i\).

Man nennt \( (v_i)_{i\in I}\) eine Basis von \(V\), wenn alle Vektoren der Familie linear unabhängig sind.

Falls du es nicht weißt:

Obige Familie nennt man genau dann linear unabhängig, wenn \( \sum_{i\in I} \lambda_i v_i = 0\) nur gilt, wenn \(\lambda_i = 0\) für alle \(i\) .

(\(I\) bezeichnet eine Indexmenge)

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dabei müssen die Summationen jeweils über eine endliche Teilmenge von I laufen.