Aufgaben zu Erzeugendensystem und Span

Question

Aufgabe 1:

Sei \( V = { R }^{ 2 } \) und \( G = \left\{ t\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right] |t\epsilon R \right\} \) die Gerade durch \( \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \) und \( \left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right] \).

Also \( G = span\left\{ \left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right]  \right\} \)

a) Dann ist \( \left\{ \left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right]  \right\} \) ein Erzeugendensystem.

b) Erklären Sie, warum a und b gilt.

Aufgabe 2:

a) Ist \( \left\{ \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right]  \right\} \) ein Erzeugendensystem von \( { R }^{ 2 } \)? Wo ist der Unterschied zur Aufgabe 1b?

b) Zeigen Sie, dass \( \left\{ \left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right] ,\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right] ,\left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right] ,\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right]  \right\} \) ein Erzeugendensystem von \( { R }^{ 2 } \) ist.

Hinweis: Benutzen sie nur die Kenntnisse bzgl. Span, Linearkombination und Erzeugendensystem.

Ich verstehe das mit dem Erzeugendensystem nicht richtig, ist das immer der Span oder wie habe ich dies zu verstehen?

Answer 1

Gegeben ist eine Teilmenge M eines Vektorraumes.

Die Lineare Hülle von M ist die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren aus M. Die Lineare Hülle von M wird mit span(M) bezeichnet.

Weil span(M) die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren aus M ist, lässt sich jeder Vektor aus span(M) als Linearkombinationen von Vektoren aus M darstellen. Laut Definition Erzeugendensystem ist M deshalb ein Erzeugendensystem von span(M).

Deshalb gilt b)

Laut Definition Linearkombination gilt a)

Comments

Hi

Ich denke nun schon 25 Minuten darüber nach und verstehe es einfach nicht, irgendwas blockiert mich.

Nehmen wir die Aufgabe oben, als Beispiel, auseinander.

V ist der Vektorraum? Und dieser soll dem R^2 entsprechen?

Nun gibt es eine Menge G, die die Menge aller Linearkombination  von M, also (1,2) enthält und dies nennt man den Span?

Und nun wird es bei mir Schwarz, ich kann einfach die Verknüpfung nicht herstellen. 
Es mag bestimmt so einfach sein, aber ohne konkrete Bespiele verstehe ich gerade nur Bahnhof. Leide gibt es im Internet immer nur die gleichen Erklärungen:)

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V ist der Vektorraum? Und dieser soll dem R² entsprechen?

Ja.

Nun gibt es eine Menge G, die die Menge aller Linearkombination von M, also (1,2) enthält und dies nennt man den Span?

Genauer gesagt "von M, also {(1,2)} enthält". Aber sonst ist das richtig. Span ist aber ein füchterliche Wort. Ich finde Erzeugnis oder lineare Hülle besser.

ich kann einfach die Verknüpfung nicht herstellen.

Zwischen was?

ohne konkrete Bespiele verstehe ich gerade nur Bahnhof.

Das konkrete Beispiel ist genau die Aufgabe 1:

\(M:= \left\{\begin{aligned} 1\\2 \end{aligned} \right\}\) ist Untermenge von V.

\(G:= \left\{t\cdot \begin{aligned} 1\\2 \end{aligned} | t\in\mathbb{R}\right\}\) ist die Menge aller Linearkombinationen von Vekoren aus M (laut Definition Linearkombination).

\(span(M)\) ist der Span von M. Dazu gibt es zwei gleichwertige Definitionen:

• \(span(M)\) ist die Menge aller Linearkombinationen von Vekoren aus M.
• \(span(M)\) ist der kleinste Vektorraum, der M enthält.
  

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Sry für die späte Antwort, hoffe es wird noch gelesen.

Zwischen was?

Zwischen der linearen Hülle und dem Erzeugendensystem.

Mit ist einfach nicht klar, warum M das Erzeugendensystem ist, denn

M könnte ja auch {(1,1)+(0,1)} sein oder?

Ich finde es schwierig mein Verständnisproblem rüberzubringen

Answer 2

Hallo

erster Teil:  dieser eine Vektor "erzeugt" den 1 dim Unterraum von R^2, der aus der Gerden durch 0 besteht. Also  für 2a) erzeugt er nicht R^2. in 1 b) wurde nicht gefragt für was ein Erzeugendensystem:

 2b) du kannst 2 der Vektoren aus dem Span nehmen, (ausser (0,0))  und zeigen dass du jeden Vektor (x1,x2) aus R^2 durch Linearkombination aus den zweien erzeugen kannst.  Also ist es ein Erzeugendensystem für R^2, du solltest aber explizit zeigen wie man aus z.B  r*(1,1)+s*(0,1)=(x1,x2) erzeugen kann, also r und s angeben.

Gruß lul

Comments

Hi!

in 1 b) wurde nicht gefragt für was ein Erzeugendensystem:

Ui, dad wurde wohl vergessen:)  Es soll ein Erzeugendensystem von G sein.

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2b) du kannst 2 der Vektoren aus dem Span nehmen, (ausser (0,0))  und zeigen dass du jeden Vektor (x1,x2) aus R2 durch Linearkombination aus den zweien erzeugen kannst.  Also ist es ein Erzeugendensystem für R2, du solltest aber explizit zeigen wie man aus z.B  r*(1,1)+s*(0,1)=(x1,x2) erzeugen kann, also r und s angeben.

Warum nur zwei Vektoren? Und wie kommst du auf den Span? Bei 2b steht doch nichts mit span.

Ich hätte z.B. das hier:
$$\quad x=\left[ \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \end{matrix} \right] ={ x }_{ 1 }\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right] +1\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right] -{ x }_{ 1 }\left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right] +{ x }_{ 2 }\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right]$$

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Oder eher so hier:

$$\quad x=\left[ \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \end{matrix} \right] =({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right] +0\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right] +(2{ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })\left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right] +0\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right]$$

bzw, wenn man die zwei Vektoren weglassen darf:

$$\quad x=\left[ \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \end{matrix} \right] =({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right] +(2{ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })\left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right] $$

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