Gleichung mit komplexen Zahlen lösen. Gesucht ist z.

Question

In dieser Aufgabe wird "z" gesucht:

$$ \frac{1-z}{(1-z)^{2}}=i \frac{1+z}{(1+z)^{2}} $$

Comments

Ist die linke seite die aufgabe?

Und die rechte die lösung?

Oder ist das beides das selbe^^

Ansonsten konjuktiv erweitern, zum Beispiel 1/i mit -i erweitern.

---

Du meinst: Mit dem konjugierten Nenner erweitern. ich glaube nicht, dass das bei der vorgelegten Gleichung viel bringt. Falls doch, kannst Du es ja mal aufschreiben. Ich würde hier eher ans Kürzen denken und danach etwas umstellen. Es ergibt sich eine lineare Gleichung in z mit der einzigen Lösung z=i. Soll da etwas anderes herauskommen, ist die Gleichung vielleicht falsch wiedergegeben oder der Prof hat sich geirrt oder beides...

---

Ich dachte zu dem zeitpunkt das linke seite die aufhabe ist.

Und das rechte stehen muss.

Ich denke mal mit multiplikation geht es hier leichter.

Answer 1

So müsste es sein?

\( \frac{(1-z)}{(1-z)^{2}}=\frac{(1+z)}{(1+z)^{2}} \)

\( (1-z)(1+z)^{2}=(1+z)(1-z)^{2} ; \quad |(1-z) \)

\( (1+z)^{2}=(1+z)(1-z) \quad | (1+z) \)

\( (1+z)=(1-z) i \quad \mid(1-z) \)

\( \frac{(1+z)}{(1-z)}=i \)

Comments

z ist gesucht und nicht i.

Arbeite ab (1+z) = (1-z)i weiter und setze für z = a+bi.

Du erhältst durch Koeffizientenvergleich dann deine Lösungen für a und b.

(Durch das Termumformen kannst du bereits ausschließen, dass z nicht -1 oder +1 ist).

---

Jetzt muesste es stimmen:

(1 + z) = (1 - z) i

(1 + a + bi) = (1 - (a + bi)) i

1 + a + bi = (1 - a - bi) i

1 + a + bi = i - ai - bi^2

1 + a + bi = i - ai - b

1 + z = i + a + b  | -1

z = i + a + b -1

z = i(1 - a) i + b -1

---

Das beantwortet aber immer noch nicht welche Lösung z hat.
Ich mach mal für dich weiter:$$ 1+ a+bi = i - ai +b $$$$ a - b + (a + b)i = -1 + i $$Koeffizientenvergleich liefert$$ a - b = -1 $$ und $$ a + b = 1 $$ab hier müsste es machbar sein.

---

Ist

i=i die lösung

Dann ist die komplexe menge die lösung^^

---

z = i ist die (einzige) Lösung.

---

Danke euch für die Denkanstöße!

Prof. hat zwei Lösungen für z

z=1

z=-i

Das ist was mich so wundert...

---

Dann kannst du deinem Prof sagen, dass er falsch liegt, da z = 1 in der Gleichung durch 0 teilen bedeutet und deswegen ausgeschlossen werden muss. Selbst wenn du denn limes z gegen 1 auf beiden Seiten betrachtest siehst du, dass es nicht funktioniert.

Es ist sowieso relativ sinnfrei eine reelle Zahl als Lösung zu nehmen, da auf der rechten seite ein vielfaches von i steht (würde auch nur Sinn machen wenn die rechte Seite gleich 0 wäre).

---

Vielleicht meint er auch eine imaginäre Zahl, wie i^0, was ja dann der Eins entsprechen würde.

---

Nein, denn i^0 ist keine imaginäre Zahl, sondern eine reelle.

Was meinst du mit dem letzten Schritt?

---

Wie bist du auf 1 und -i gekommen?

---

Meinst du den anderen, weil ich mehrmals geschrieben und erklärt habe, dass z = i die einzige Lösung ist.

Wenn du das Gleichungssystem oben löst

kriegst du a = 0 und b = 1 als (einzige!) Lösung raus. Also ist z = a+bi =0+1*i = i.

Mehr Lösungen gibt es nicht.