Integration durch Substitution (√(x) - 1) / (√(x)):

Question

alle miteinander :-)

folgende Funktion f soll integriert werden: f(x)= (√(x) - 1) / (√(x)).
Integration durch Substitution fällt mir noch etwas schwer.

Es wäre super, wenn man den "Lösungsweg" aufzeigen könnte.
Aber vor allem noch wichtiger: Was in jedem Schritt gemacht wird (Außer das zusammenfassen).

Hoffentlich verstehe ich das Vorgehen dann endlich.

,

Florean :-)

Comments

Musst du zwingend Substitution verwenden?

Nimm (√x) - 1 = u

du/ dx = 1/2 * 1/√x

2 du = 1/√x dx

usw.

Alternative wäre:

(√(x) - 1) / (√(x)) = 1 - x^{-1/2} 

und nun 'normal' integrieren.

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Hi Lu,

ja, die Substitution ist vorgeschrieben.

Answer 1

Nimm (√x) - 1 = u

du/ dx = 1/2 * 1/√x

2 du = 1/√x dx

∫ (√(x) - 1) / (√(x)) dx = ∫ u*2du

= 1/2 u^2 * 2 + C

=  ((√x)-1)^2 + C 

=  (x - 2√x + 1) + C

= x - 2√x + D

Zur Kontrolle: 

∫1 - x^-1/2  dx = x - 1/( 1/2) * x^{1/2}  + C

= x - 2√x + C

Comments

Frage: Wie kommst du auf du/ dx = 1/2 * 1/√x?

Gruß

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Entweder du kennst die Ableitung von u= (√x) + 1 oder du berechnest sie als Ableitung von u=x^{1/2} + 1.

du/dx ist übrigens die Ableitung von u nach der Variablen x.

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Danke dir Lu! Jetzt verstehe ich das Vorgehen :-)