Was ist genau eine Umkehrabbildung?

Question

gegeben ist eine bijektive Abbildung \(f: X \rightarrow Y\). In diesem Fall kann man eine Umkehrabbildung erklären:

\(f^{-1}: Y -> X, y \mapsto x = f^{-1}(y) \) mit \( y = f(x) \).

Es werden auch in meinem Buch (Fischer) Bedeutungen von \(f^{-1}\) aufgeführt:

1) bei einer beliebigen Abbildung ist für jede Teilmenge \( N \subseteq Y \) das Urbild \( f^{-1}(N) \subseteq X \) eine Teilmenge

2) ist \(f\) bijektiv, so besteht für die einelementigen Teilmenge \( \{ y \} \subseteq Y \) das Urbild \( f^{-1}(\{ y \}) \) aus einem Element \(x\), in Zeichen \(f^{-1} ( \{ y \}) = \{ x \}\), dafür schreibt man \(f^{-1}(y) = x \).

Wenn ich das richtig sehe, ist mein \( f^{-1} \) weder 1) noch 2). Denn z.b. bei der 2 ist \(f^{-1}(y) = x \) doch eine Menge und bei meinem Beispiel handelt es sich um eine Funktion. Sehe ich das richtig? Wenn ja hat mein Symbol irgendeine  genaue Definiton? Weil ich keine weiter in meinem Buch finde.

Answer 1

Hi,

die Definitionen widersprechen sich nicht, da du die Abbildung zwischen 2 Mengen X und Y definierst. Einzelne Elemente dieser Menge kannst du auch als einelementige Teilmengen identifizieren.

Edit: Ich hab den Rest weggelassen, da er eher mehr verwirrend war als hilfreich.

Comments

es geht mir nicht um den Widerspruch der Definitionen, sondern um die Umkehrabbildung \( f^{-1} \) im zweiten Satz.

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hab grad in den Fischer geguckt. Da steht zuerst, dass eine Abbildung eine eindeutige Zuweisung ist,

deine Definition der Umkehrabbildung beschreibt ja eine eindeutige Zuweisung (x ist eindeutig, da f bijektiv ist).

Die beiden Beispiele 1) und 2) zeigen den unterschied zwischen Urbild und Umkehrabbildung.

Deine Definition ist genau die gleiche wie 2) (Stichwort eindeutige Zuweisung). Und um nochmal meine Antwort zu rekapitulieren: Jedes Element einer Menge kann als einelementige Teilmenge dieser Menge begriffen werden.

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Danke für Deine Antwort. Leider habe ich immer noch ein Verständnisproblem, denn die Definition 2) ist für mich ein Sonderfall der Definition 1). Da ist einfach \( N = \{ y \} \). D.h. \( f^{-1}(y) = x \) ist laut Definition 2) \( f^{-1}(\{y\})=\{x\}\) und das ist eine Menge.

Und in meinem Fall handelt sich doch um eine Abbildung (Funktion) (\(f^{-1}\) und das ist doch nicht dasselbe wie Definition 2), denn eine Abbildung ist eine Zuordnung, in der Definition 2) wird aber nur von einer Menge, die gewisse Eigenschaft hat, gesprochen. Denke ich falsch?

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Ja, es wird schon in 2) eine Menge beschrieben, das Urbild für jedes Element von y in x. Gleichzeitig wird aber auch eine Zuweisung beschrieben.

Das Urbild in 2) definiert in diesem Sinne die Umkehrabbildung, so wie du sie auch geschrieben hast.