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Gegeben ist die Funktion f(x)= (x-1)* e^x
Ich soll unter diesen Aspekten berechnen:
Schnittpunkte mit den Achsen (x;y);
Extrema;
Wendepunkt;
Symmetrie;
Verhalten zu unendlich;
Skizzieren.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, da ich vor dem verzweifeln bin.
Im Voraus, Danke.
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Funktion und Ableitungen

f(x) = e^x·(x - 1)

f'(x) = e^x·x

f''(x) = e^x·(x + 1)

Symmetrie

Keine erkennbare Symmetrie

Verhalten im Unendlichen

lim (x → -∞) e^x·(x - 1) = 0-

lim (x → ∞) e^x·(x - 1) = ∞

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = -1

Nullstellen f(x) = 0

e^x·(x - 1) = 0

x = 1

Extrempunkte f'(x) = 0

e^x·x = 0

x = 0

f(0) = -1

Wendepunkte f''(x) = 0

e^x·(x + 1) = 0

x = - 1


f(-1) = - 2/e = -0.74

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Bild Mathematik


Bild Mathematik

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noch eine bißchen Fülltext
mfg Georg

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Welche von den Beiden unterschiedlichen Antworten ist jetzt richtig ?

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Die Ergebnisse

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Von dem ex nicht verrückt machen lassen. Und einfach genauso vorgehen wie sonst auch.

Schnittpunkte mit Achsen

Schnittpunkte mit y-Achse kannst du selbst ausrechen. Schnittpunkt mit x-Achse kannst du direkt schon ablesen. Ein Produkt wird null, wenn einer der beiden Faktoren null wird. ex ist immer größer null, also bleibt nur die Klammer und damit x=1 als Nullstelle.

Ableitungen sind ziemlich einfach bei dieser Funktion. Produktregel oder vorher ausmultiplizieren.

E-Funktion immer mit Kettenregel ableiten. Äußere Funktion ist die E-Funktion, innere Funktion ist der Exponent.

Ableitungen, Extrema und WP

Ableitung von ex ist ex. Wenn dort stattdessen e-3x stehen würde, wäre die Ableitung e-3x *(-3)

f '(x) = (x - 1) * ex + ex = xex

f ''(x) = ex +xex = (x + 1)ex

f '''(x) = ex +ex +xex = (x + 2)ex

Mit den notwendigen Bedingungen für Extrema ( f '(x) = 0 Λ f ''(x) ≠0) und Wendepunkte ( f ''(x) = 0 Λ f '''(x) ≠0) kann man ziemlich schnell die Punkte berechnen. Daran denken, dass ex > 0

Symmetrie

achsensymmetrisch zur y-Achse: f(x) = f(-x)

punktsymmetrisch zum Ursprung: f(x) = -f(-x)

Einfach stumpf einsetzen und vereinfachen. Wenn alles wegfällt und 0=0 stehen bleibt, dann ist Symmetrie vorhanden, sonst nicht. (Tipp: e-x= 1/ex)

Verhalten gegen unendlich

$$\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ (x-1){ e }^{ x } } =+\infty \\$$

Gegen unendlich wird die Klammer unendlich groß, die -1 spielt dann keine Rolle mehr und ex wird ebenfalls unendlich groß. Damit geht die gesamte Funktion gegen +unendlich für x-> +unendlich

$$ \\ \lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ (x-1){ e }^{ x } } =\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ { (-x-1){ e }^{ -x } } } =\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ { \frac { -x-1 }{ { e }^{ x } }  } } =0$$

Da hier das Verhalten gegen -∞ untersucht werden soll, habe ich das Vorzeichen der x-Werte in der Funktion geändert und lasse dann x->+∞ laufen. Ist vielleicht von der mathematischen Notation her nicht ganz einwandfrei, aber man sieht deutlicher was passiert.

e-x = 1/ex . Damit hat man im Zähler mit (-x-1) eine unendlich große negative Zahl x geteilt durch den Nenner, in dem eine Zahl steht, die ebenfalls unendlich groß wird. Da die e-Funktion aber sehr viel schneller steigt als jedes Polynom, ist der Nenner für x gegen unendlich vom Betrag größer als der Zähler und damit geht der gesamte Bruch gegen null für x-> -unendlich. Man erkennt außerdem noch, dass der Bruch negativ ist, sich also von unten an die x-Achse annähert.

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