Von dem ex nicht verrückt machen lassen. Und einfach genauso vorgehen wie sonst auch.
Schnittpunkte mit Achsen
Schnittpunkte mit y-Achse kannst du selbst ausrechen. Schnittpunkt mit x-Achse kannst du direkt schon ablesen. Ein Produkt wird null, wenn einer der beiden Faktoren null wird. ex ist immer größer null, also bleibt nur die Klammer und damit x=1 als Nullstelle.
Ableitungen sind ziemlich einfach bei dieser Funktion. Produktregel oder vorher ausmultiplizieren.
E-Funktion immer mit Kettenregel ableiten. Äußere Funktion ist die E-Funktion, innere Funktion ist der Exponent.
Ableitungen, Extrema und WP
Ableitung von ex ist ex. Wenn dort stattdessen e-3x stehen würde, wäre die Ableitung e-3x *(-3)
f '(x) = (x - 1) * ex + ex = xex
f ''(x) = ex +xex = (x + 1)ex
f '''(x) = ex +ex +xex = (x + 2)ex
Mit den notwendigen Bedingungen für Extrema ( f '(x) = 0 Λ f ''(x) ≠0) und Wendepunkte ( f ''(x) = 0 Λ f '''(x) ≠0) kann man ziemlich schnell die Punkte berechnen. Daran denken, dass ex > 0
Symmetrie
achsensymmetrisch zur y-Achse: f(x) = f(-x)
punktsymmetrisch zum Ursprung: f(x) = -f(-x)
Einfach stumpf einsetzen und vereinfachen. Wenn alles wegfällt und 0=0 stehen bleibt, dann ist Symmetrie vorhanden, sonst nicht. (Tipp: e-x= 1/ex)
Verhalten gegen unendlich
$$\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ (x-1){ e }^{ x } } =+\infty \\$$
Gegen unendlich wird die Klammer unendlich groß, die -1 spielt dann keine Rolle mehr und ex wird ebenfalls unendlich groß. Damit geht die gesamte Funktion gegen +unendlich für x-> +unendlich
$$ \\ \lim _{ x\rightarrow -\infty }{ (x-1){ e }^{ x } } =\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ { (-x-1){ e }^{ -x } } } =\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ { \frac { -x-1 }{ { e }^{ x } } } } =0$$
Da hier das Verhalten gegen -∞ untersucht werden soll, habe ich das Vorzeichen der x-Werte in der Funktion geändert und lasse dann x->+∞ laufen. Ist vielleicht von der mathematischen Notation her nicht ganz einwandfrei, aber man sieht deutlicher was passiert.
e-x = 1/ex . Damit hat man im Zähler mit (-x-1) eine unendlich große negative Zahl x geteilt durch den Nenner, in dem eine Zahl steht, die ebenfalls unendlich groß wird. Da die e-Funktion aber sehr viel schneller steigt als jedes Polynom, ist der Nenner für x gegen unendlich vom Betrag größer als der Zähler und damit geht der gesamte Bruch gegen null für x-> -unendlich. Man erkennt außerdem noch, dass der Bruch negativ ist, sich also von unten an die x-Achse annähert.