Kurvendiskussion von Produkt mit Exponentialfunktion : f(x)= (x-1)* e^x

Question

Gegeben ist die Funktion f(x)= (x-1)* e^x
Ich soll unter diesen Aspekten berechnen:
Schnittpunkte mit den Achsen (x;y);
Extrema;
Wendepunkt;
Symmetrie;
Verhalten zu unendlich;
Skizzieren.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, da ich vor dem verzweifeln bin.
Im Voraus, Danke.

Answer 1

Funktion und Ableitungen

f(x) = e^x·(x - 1)

f'(x) = e^x·x

f''(x) = e^x·(x + 1)

Symmetrie

Keine erkennbare Symmetrie

Verhalten im Unendlichen

lim (x → -∞) e^x·(x - 1) = 0-

lim (x → ∞) e^x·(x - 1) = ∞

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = -1

Nullstellen f(x) = 0

e^x·(x - 1) = 0

x = 1

Extrempunkte f'(x) = 0

e^x·x = 0

x = 0

f(0) = -1

Wendepunkte f''(x) = 0

e^x·(x + 1) = 0

x = - 1

f(-1) = - 2/e = -0.74

Answer 2

noch eine bißchen Fülltext
mfg Georg

Comments

Welche von den Beiden unterschiedlichen Antworten ist jetzt richtig ?

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Welche Unterschiede sind dir aufgefallen ?

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Die Ergebnisse

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Standardtext auf Hinweise zu Fehlern oder vermeintlchen
Fehlern meinerseits.
Bitte direkt den genauen Grund und Fehlerzeile angeben.
Eventuell auch die notwendige Berichtigung  oder die
Gegenrechnung anführen. Ansonsten erfolgt keine
Reaktion.

Answer 3

Von dem e^x nicht verrückt machen lassen. Und einfach genauso vorgehen wie sonst auch.

Schnittpunkte mit Achsen

Schnittpunkte mit y-Achse kannst du selbst ausrechen. Schnittpunkt mit x-Achse kannst du direkt schon ablesen. Ein Produkt wird null, wenn einer der beiden Faktoren null wird. e^x ist immer größer null, also bleibt nur die Klammer und damit x=1 als Nullstelle.

Ableitungen sind ziemlich einfach bei dieser Funktion. Produktregel oder vorher ausmultiplizieren.

E-Funktion immer mit Kettenregel ableiten. Äußere Funktion ist die E-Funktion, innere Funktion ist der Exponent.

Ableitungen, Extrema und WP

Ableitung von e^x ist e^x. Wenn dort stattdessen e^-3x stehen würde, wäre die Ableitung e^-3x *(-3)

f '(x) = (x - 1) * e^x + e^x = xe^x

f ''(x) = e^x +xe^x = (x + 1)e^x

f '''(x) = e^x +e^x +xe^x = (x + 2)e^x

Mit den notwendigen Bedingungen für Extrema ( f '(x) = 0 Λ f ''(x) ≠0) und Wendepunkte ( f ''(x) = 0 Λ f '''(x) ≠0) kann man ziemlich schnell die Punkte berechnen. Daran denken, dass e^x > 0

Symmetrie

achsensymmetrisch zur y-Achse: f(x) = f(-x)

punktsymmetrisch zum Ursprung: f(x) = -f(-x)

Einfach stumpf einsetzen und vereinfachen. Wenn alles wegfällt und 0=0 stehen bleibt, dann ist Symmetrie vorhanden, sonst nicht. (Tipp: e^-x= 1/e^x)

Verhalten gegen unendlich

$$\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ (x-1){ e }^{ x } } =+\infty \\$$

Gegen unendlich wird die Klammer unendlich groß, die -1 spielt dann keine Rolle mehr und e^x wird ebenfalls unendlich groß. Damit geht die gesamte Funktion gegen +unendlich für x-> +unendlich

$$ \\ \lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ (x-1){ e }^{ x } } =\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ { (-x-1){ e }^{ -x } } } =\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ { \frac { -x-1 }{ { e }^{ x } }  } } =0$$

Da hier das Verhalten gegen -∞ untersucht werden soll, habe ich das Vorzeichen der x-Werte in der Funktion geändert und lasse dann x->+∞ laufen. Ist vielleicht von der mathematischen Notation her nicht ganz einwandfrei, aber man sieht deutlicher was passiert.

e^-x = 1/e^x . Damit hat man im Zähler mit (-x-1) eine unendlich große negative Zahl x geteilt durch den Nenner, in dem eine Zahl steht, die ebenfalls unendlich groß wird. Da die e-Funktion aber sehr viel schneller steigt als jedes Polynom, ist der Nenner für x gegen unendlich vom Betrag größer als der Zähler und damit geht der gesamte Bruch gegen null für x-> -unendlich. Man erkennt außerdem noch, dass der Bruch negativ ist, sich also von unten an die x-Achse annähert.