Gleichung mit Potenzen, ln und e

Question

Ich habe diese Aufgabe bekommen und da ich schon eeewig nicht mehr mit ln und e gerechnet habe weiß ich gerade überhaupt nicht wo und wie ich überhaupt anfangen soll :/ .

Die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung.

Ich hoffe jemand kann mir helfen es ist ganz :(

(x⁷-25)⁹ * (6x⁸-54x⁶)*e^x/x+3*ln(2x-6)=0

Comments

Es muss gelten:

2x-6 > 0

x > 3

D = {x|x > 3} = ]3; +oo[

Verwende den Satz vom Nullprodukt, um L zu bestimmen: Ein Produkt wird Null, wenn ... 

Die letzten leiden Faktoren können nicht Null werden.

Answer 1

Definitionsmenge
Nachsehen, wo die Funktion nicht definiert ist
Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert und Division durch null ist nicht definiert

e-Funktion hat einen Bruch im Exponenten
x / (x+3) --> x = -3

ln(2x-6) --> 2x-6 > 0 <--> x > 3

D = {x | x > 3}

Lösungsmenge
Auf der linken Seite hast du ein Produkt mit 4 Faktoren. Wenn einer der Faktoren null wird ist das gesamte Produkt 0 und die Gleichung erfüllt. Also einfach prüfen, wann einer der Faktoren null wird

(x⁷-25)⁹ = 0 <--> x₁ = siebte Wurzel aus 25, < 3 --> n.d.

(6x⁸-54x⁶), --> x_2,3,4,5,6 = 0 <3 --> n.d.
6x²-54 = 0 ,
--> x₇=-3 <3 -->n.d.
x₈=3 --> n.d.

e^x/x+3 , e-Funktion kann nie null werden

ln(2x-6), wird null für ln(1)

2x-6=1 <---> x₉= 7/2

$$L=\left\{ \frac { 7 }{ 2 }\right\} $$

Answer 2

1. ->

ln(u) ist definiert für alle u>0

also : für welche x ist dann  ln(2x-6) definiert ?

2. ->

wann hat ein Produkt (zB mit mehreren Faktoren) den Wert 0 ?

also: welche Gleichungen wirst du untersuchen müssen ?

?

Answer 3

(x⁷-25)⁹ * (6x⁸-54x⁶)*e^x/x+3*ln(2x-6)=0

Ein Produkt ist dann gleich 0 wenn mindestens einer
der Faktoren 0 ist

(x⁷-25)⁹  = 0
x ^7- 25 = 0
x = ⁷√25 = 1.584

(6x⁸-54x⁶)
x^6 * ( 5x^2 - 54 )
x = 0

5x^2 - 54 = 0
5x^2 = 54
x^2 = 54/5
x = 3.286
x = -3.286

e^x/x+3 Stets positiv

ln ( 2x-6 ) = 0
2x - 6 = 1
2x = 7
x = 3.5

x = 1.584
x = 0
x = 3.286
x = -3.286
x = 3.5

D = x > 3 ( siehe tiktok2 )
es bleibt übrig
x = 3.5

Comments

Du hast beim Ausklammern von x⁶ aus der 6 eine 5 gemacht. Deswegen sind unsere möglichen Lösungen unterschiedlich bei diesem Faktor

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Stimmt. Ich korrigiere es jetzt aber nicht
mehr. Es hat auf das Endergebnis eh
keinen Einffuß.
mfg Georg