Gleichung lösen z^4 - i = 0

Question

Hallo Community,

ich habe eine Frage bzgl. der Lösungen derr folgenden Gleichung:

$$ { z }^{ 4 } - i= 0 $$

Die ersten Lösungen habe ich herausgefunden, nämlich

$$ { z }_{ 1 } = \sqrt [ 4 ]{ i }  $$ und $$ { z }_{ 2 } =- \sqrt [ 4 ]{ i }  $$.

Bei WolframAlpha kommen noch zwei weitere Lösungen raus, und zwar

$$ { z }_{ 3 } =\sqrt [ 8]{ { (-1) }^{ 5 } }  $$ und $$ { z }_{ 4 } =-\sqrt [ 8]{ { (-1) }^{ 5 } }  $$.

Wie kommt man auf die letzten beiden Lösungen?

Ich bräcuhte bitte nur einen Tipp, dann wäre es erledigt! :)

Answer 1

z^4 = i

hat 4 Lösungen weil es eine Funktion 4. Grades ist. Wir können die rechte Komplexe Zahl in Polarform darstellen.

z^4 = e^{i*pi/2}

z = e^{i·pi/8 + k·pi/2}

Nach Rückumwandlung erhält man die Lösungen

z = - √(2 - √2)/2 + i·√(√2 + 2)/2 ∨ z = √(2 - √2)/2 - i·√(√2 + 2)/2 ∨ z = - √(√2 + 2)/2 - i·√(2 - √2)/2 ∨ z = √(√2 + 2)/2 + i·√(2 - √2)/2