Summe(k=1 bis n) (2k-1)=n^{2} und das zweite k=n(n+1)/2

Question

Die erste kenne ich zwar aus wikiprdia aber kann es nicht ganz nachvollziehen.

Das zweite habe ich nicht hinbekommen

Wie soll aus k n(n+1)/2 rauskommen.

Danke

Comments

Hier das ganze noch in einer besser lesbaren Version:

$$ \sum _{k=1}^{n}{\left(2k-1\right)} = n^2\quad\textrm{und}\quad  \sum _{k=1}^{n}{k} = \frac { n\cdot \left(n+1\right)}{ 2 } $$

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1+2+..n+(n+1)=(n+1)((n+1)+1)/2

Komme net weiter.

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Wende die Induktionsvoraussetzung auf die linke Seite an:

1+2+...+n + (n+1) = (n+1)*((n+1)+1)/2

n*(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n+2)/2

Klammere links (n+1) aus und dividiere die Gleichung durch (n+1).

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Ok danke habe es hinbekommen aber wieso darf ich bzw. kann ich erkennen das k=(n(n+1)/2)

Habe am ende

(n+2)÷2 auf beiden seiten

Answer 1

Ein Beispiel:

1+2+3+4+5+6+7+8+
8+7+6+5+4+3+2+1=
----------------------------
9+9+9+9+9+9+9+9 = 8 * (8+1) = 72

Wollen wir nur die obere Reihe haben, müssen wir noch durch 2 teilen.