Rekursive Folge (monotonie & Grenzwert)

Question

leider komme ich bei dieser Aufgabenstellung nicht weiter. Die folge ist eine Fallende Folge, bei mir kommt jedoch immer raus das sie steigt. Kann mir vielleicht jmd. den Rechenweg zeigen?

Geben Sie die rekursiv definierte Folge

a₁ = 1        a_n+1= a_n/(a_n+2)        n>=1

Zeigen Sie das die Folge (a_n) monoton fällt und konvergiert. Berechnen Sie den Grenzwert von (a_n).

Answer 1

a1 = 1

a2 = 1/(1 + 2) = 1/3

a3 = (1/3)/(1/3 + 2) = 1/7

a4 = (1/7)/(1/7 + 2) = 1/15

an+1 < an

an/(an + 2) < an

an < an(an + 2)

an < an^2 + 2an

1 < an + 2

Das ist immer erfüllt weil an nach Definition nie negativ wird.

Grenzwert wenn an + 1 = an

a/(a + 2) = a

Das habe ich oben schon gelöst. Lösungen sind a = -1 und a = 0

-1 kommt als Grenzwert nicht in Frage. Daher ist hier 0 der richtige Grenzwert.

Comments

Danke an Der_Mathecoach,

aber darf man sich das mit dem Grenzwert so einfach machen und das einfach so hinschreiben? Ist es nicht wichtig den  Lim--> ∞ zu  machen???

Vielen Dank für deine Antwort

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Wenn n --> ∞ geht und es einen Grenzwert gibt, dann ist an+1 fast so groß wie an und als Grenzwert setzt man diese dann gleich. Das darf man so machen. Allerdings langt das meist nicht aus. Wenn wir dann noch wissen das an eine streng monoton abnehmende Folge ist, aber selber nicht negativ werden kann ist damit dann eigentlich schon der Grenzwert gezeigt.