Wie stelle ich diesen Term mithilfe des Summenzeichens dar?

Question

$$ 1-\frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 5 } -\frac { 1 }{ 7 } +\frac { 1 }{ 9 } -\frac { 1 }{ 11 } +...$$
Die Aufgabe lautet: Stellen Sie diesen Term mithilfe des Summenzeichens dar.
Ich habe schon so viele Sachen ausprobiert, aber nichts hat letztendlich gepasst.
Gibt es da generell eine Regel oder Formel, die man dafür anwenden kann oder muss man das mit probieren machen?

Answer 1

im Grund müssen dir hier 2 Sachen auffallen:

1. Die Nenner stellen eine Auflistung der ungeraden Zahlen vor.

2. Jedes Folgenglieder sind alternierend (also das Vorzeichen wechselt sich).

Eine Auflistung der ungeraden Zahlen kannst du schreiben als \( a_k = (2k-1) \) für \( k \in \mathbb{N} \).

Dein die ungeraden Folgenglieder sind positiv die geraden Folgenglieder sind negativ

das heißt wenn k die Nummer deines Folgegliedes ist, so hat es das Vorzeichen \( (-1)^{k-1} \).

Mit diesen Informationen kannst du nun deine Summe schreiben als:

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{2k - 1} $$

Gruß

Answer 2

Die ungeraden Zahlen (für die Nenner) erhältst du aus der Formel  2 n - 1 . Die abwechselnden Vorzeichen kannst du durch  ( - 1 )ⁿ  erzeugen. Allenfalls ist dann noch eine kleine Anpassung nötig, die du aber selber schaffen solltest.