Welche Eigenschaften hat R? Beweisen Sie dies oder geben Sie ein Gegenbeispiel an. (Transivität von Relation)

Question

Aufgabe zu Relationen:

Sei \( R \subseteq A \times B \) die auf \( A=B=\mathbb{N} \times \mathbb{N} \) eine Relation, die folgendermaßen definiert ist:

\( \left(x_{1}, y_{1}\right) R\left(x_{2}, y_{2}\right) \quad \text { gdw. } \quad\left(x_{1}+x_{2}\right)=\left(y_{1}+y_{2}\right) \)

Es gilt z.B. \( (2,3) R(5,4) \), denn \( 2+5=3+4 \). (Lassen Sie sich nicht davon verwirren, dass hier Paare in Relation stehen.)

Welche der folgenden Eigenschaften hat \( R \) ? Beweisen Sie dies (kurz), oder geben Sie ein Gegenbeispiel an!

Ansatz:

Jetzt möchte ich die Tranisitivität und Intransitivität beweisen. Was mich verunsichert (obwohl es ja auch explizit in der Aufgabe erwähnt wird) ist, dass die Relation nicht in der Form aRa bzw. aRb ist.

Laut Definition, ist transivität gegeben, wenn für jedes a € A gilt, a~a (das element a steht in relation zu sich selber) z.Bs (1,1) (2,2) (a,a).... kann ich jetzt sagen das weil (x+x) = (y+y) => (a,a) ist?

Denn wenn x=y, muss es ja das selbe Element sein?

Answer 1

1) Reflexivität: R ist  reflexiv, wenn (x1, y1) R (x1, y1)

Gegenbeispiel: x1 = 1 und y1 = 2:

(1+1) = (2+2) ist eine falsche Aussage, also ist R nicht reflexiv

2) Transitivität: R ist  reflexiv, wenn aus (x1, y1) R (x2, y2) und (x2, y2) R (x3, y3) folgt  (x1, y1) R (x3, y3)

Gegenbeispiel: aus (2,3) R (5,4) und (5,4) R (6,7) folgt nicht (2,3) R (6,7) denn (2+6) = (3+7) ist eine falsche Aussage, also ist R nicht transitiv

Symmetrie: R ist  symmetrisch, wenn aus (x1, y1) R (x2, y2) folgt (x2, y2) R (x1, y1)

wegen ((x1, y1) R (x2, y2)<=> (x1+x2) = (y1+y2)  und  wegen  (x2, y2) R (x1, y1) <=> (y1+y2) = (x1+x2) gilt:

(x1, y1) R (x2, y2) folgt (x2, y2) R (x1, y1) ist äquivalent zu (x1+x2) = (y1+y2) folgt (y1+y2) = (x1+x2)

aber (x1+x2) = (y1+y2) folgt (y1+y2) = (x1+x2) ist eine wahre Aussage, somit gilt wegen der Äquivalenz :

(x1, y1) R (x2, y2) folgt (x2, y2) R (x1, y1), also ist R symmetrisch