Welche der angegebenen Folgen (an)nausN konvergieren? Grenzwert? an = (n^2+2)/(n + 1)-(n^2+2)/(n+2)

Question

Frage steht oben : )

Weiß jetzt wie man Grenzwerte ausrechnet, allerdings habe ich hier noch Probleme bei den zwei letzten Grenzwertaufgaben.

(a)    a_n=(n²+2)/ (n+1)   -    (n²+2) / (n+2)

(b)    b_n= (n²4ⁿ - 5ⁿ) / (3ⁿ + 5ⁿ)

Vor allem bei Aufgabe a habe ich keine Ahnung, weil da jetzt aufeinmal auch "- "ein weiterer Bruch steht : (

Hoffentlich könnt ihr mir helfen : )

Answer 1

Bringe den Bruch eventuell auf einen Bruchstrich

an = (n^2 + 2)/(n + 1) - (n^2 + 2)/(n + 2) = (n^2 + 2)/(n^2 + 3·n + 2)

Hier kann man den Grenzwert mit 1 Berechnen.

Comments

Entschuldigung, was bedeutet Grenzwert mit 1 berechnen? Soll man für n die 1 einsetzten=?

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Nein. Du berechnest den Grentwert gegen unendlich. Was als Ergebnis 1 gibt.

Answer 2

bei (a) zuerst \( (n^2+2) \) ausklammern und dann auf den Hauptnenner bringen und alles mit \( \frac{1}{n^2} \) erweitern.

Comments

ich kann doch die Folgen auch jeweils getrennt betrachten, oder? Ich will damit sagen, dass ich bei (a) zuerst den Grenzwert von (n^2+2)/(n+1) ausrechne, dann den anderen Grenzwert und die dann voneinander abziehe. Wäre doch auch in Ordnung?

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also (a) habe ich gelöst am ende kam raus : 1+0 / 1+0+0 = 1/1 = 1

aber (b) weiss ich nicht wie ich anfangen soll , hat bitte jdn eine idee ?  danke !

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Klammere 5^n aus und verfahre wie bei folgender Aufgabe:

https://www.mathelounge.de/167559/grenzwert-der-folge-bestimmen-an-n-3-4-n-3-n-3-n-2-n

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also ich habe versucht und habe folgendes gemacht :

(n^2 * 4^2 - 5^n) / 3^n + 5 ^n  =  (5^n(n^3 * (4/5)^n ) - 1 ) / 5^n (2/5)^n +1

und bei dem Link , den du mir gezeigt hast stand auch so ähnlich und stand bei Nenner fast wie hier (2/5)^n und stand Nullfolge und deswegen ist Lim = unendlich .

das habe ich leider nicht verstanden , kannst du es mir bitte erklären . das wäre lieb von dir !

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im Nenner steht (3/5)^n. Vermutlich ein Tippfehler von dir.

Setze für n immer unendlich ein und rechne das dann aus und schaue, was jeweils rauskommt. Wenn du dir unsicher bist, überprüfe dein Ergebnis doch mit wolframalpha. Dann wird der Begriff unendlich vielleicht etwas verständlicher. Hoffe, ich konnte dir wenigstens einen Tipp geben, wie du es dir vielleicht verständlicher machen kannst.

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ja (2/5)^n war nur ein Tippfehler sry !

ich habe mit wolframalpha überprüft und da kam 3 Ergebnisse einmal für n -> 0 , n-> + unendlich und n-> - unendlich .

welche von der drei soll ich denn benutzen für diese aufgabe  ?

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also die Aufgabe heisst ob die folge konvergiert , das bedeutet dass grenzwert nicht unendlich ist  sondern 0,1 oder i-ein Zahl oder?

aber steht nicht bei der aufgabe welchen lim man suchen soll ob + unendlich - unendlich oder gegen null . ich werde durcheinander :(

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Ja, je nachdem wogegen n laufen soll. Da hier n∈N würde ich sagen, dass n gegen unendlich läuft und somit auch unendlich als Grenzwert rauskommt.

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aber wenn ich ausrechne kommt das hier :

((n^3*(4/5)^n )-1) /( (3/5)^n + 1)   und warum läuft das gegen unendlich  ?

also im zähler haben n^3 ist gegen unendlich aber laufen (4/5 )^n und (3/5)^n auch  gegen unendlich  ? und wenn ja dann haben wir (unendlich * unendlich ) / unendlich = unendlich  ? ist das richtig oder total falsch ^^

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Also, bei der b) kommt -1 raus.

Ich bin vielleicht nicht die Richtige, um das zu erklären, aber ich habe es mir selber so erklärt, dass es damit zu tun hat, dass vor dem 5^n im Zähler ein + und im Nenner ein - steht. Wenn du jeweils unendlich einsetzt für n, kürzt sich das alles weg, wo unendlich steht, und über bleibt -1.

Hatte mein Ergebnis mit wolframalpha überprüft.

Frage aber wegen der Erklärung am besten noch einmal einen Übungsleiter.

Hoffe, ich konnte dir dennoch einen Denkanstoß geben.

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Um zu überprüfen, wogegen die Folge läuft kann man für n in einen Rechner eine sehr sehr hohe Zahl einetzen (am beten 10¹² oder so). So hat man eigentlich immer das richtige Ergebnis und die Hälfte der Punkte garantiert.

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ok vielen Dank ! aber noch eine letzte Frage bitte . wenn Lim bn = -1 ist die Folge trotzdem konvergiert ? denn die folge (an) n gehört zu Natürlichen zahlen .

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Also b_n geht ja für n→∞ gegen -1. D.h. meines Wissens nach das b_n gegen -1 konvergiert. Demnach konvergiert die Folge.

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http://www2.math.uni-paderborn.de/fileadmin/Mathematik/People/ckaiser/Mathe_f%C3%BCr_Chemiker/4_1_Folgen.pdf

hier wird es auch noch erklärt. Wenn eine Folge auf einen Wert zuläuft, dann ist sie konvergent.