Beweis von Äquivalenzrelation

Question

Folgendes Problem, herauszufinden ist ob folgendes Äquivalenzrelationen sind:

Seien x,y ∈ ℤ \ {0} .

(1) x ~ y , wenn x - y durch 3 teilbar ist

(2) x ~ y , wenn x + y durch 3 teilbar ist

(3) x*y bei Division durch 3 den Rest 0 oder 1 lässt.

(4) x ~ y , wenn x/y ≥ 0 ist

(5) x ~ y , wenn x/y ≥ 1 ist

Das Problem für mich ist nun eigentlich nicht das herausfinden ob, sondern wie es als Beweis allgemein gültig aufzuschreiben ist.

Answer 1

z.B für (1). Du musst zeigen, die Rel ist reflexiv, symmetrisch und transitiv.
die Grundmenge war ja Z ohne Null, nenne ich jetzt mal G
reflexiv:   Für jedes x aus G gilt   x ~ x.
Dazu musst du zeigen  x-x durch 3 teilbar.
   Das ist korrekt, weil 0 durch 3 teilbar ist.
symmetrisch:      falls x~y muss auch y~x gelten
Bew:   seien x,y aus G mit x~y, dann x-y durch 3 teilbar
dann aber auch y-x durch 3 teilbar, also y~x  q.e.d.
transitiv: Seien x,y,z aus G mit
   x~y und y~z    dann musst du    x~z zeigen.
Wegen x~y und y~z    gilt
            x-y durch 3 teilbar und   y-z durch 3 teilbar.
Dann gibt es n und k aus Z mit x-y=3n und y-z=3k
Also  x=3n+y   und da kann man jetzt   y=3k + z  einsetzen
und hat  x= 3n + 3k + z  bzw
x-z  =  3n+3k  =  3(n+k)
Also ist x-z auch durch 3 teilbar, somit   x~z. q.e.d.