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Aufgabe:

Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Folgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}, \) falls sie existieren:

a) \( a_{n}=\frac{(3 n+1)^{2} \cdot 7^{n}}{7^{n+1} \cdot\left(n^{2}+2\right)} \)
b) \( a_{n}=\frac{8 n^{7}+(-1)^{n} n^{6}-n^{5}-\left(n^{2}+1\right)^{2}+2}{1+n^{2}-2 n^{4}-\left(1-(-1)^{n}\right) n^{5}-12 n^{6}-17 n^{7}} \)
c) \( a_{n}=\frac{3+\frac{1}{2 n}}{2-\sqrt[2]{5}} \)
d) \( a_{1}=1, a_{n}=\prod \limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right), n \geq 2 \)
e) \( a_{n}=\sqrt{4 n^{2}-n+2}-\sqrt{3 n^{2}+n-4} \)
f) \( a_{n}=\sqrt{n+\sqrt{n+2}}-\sqrt{n+2} \)

Hinweis zu (d): Weisen Sie zunächst nach, dass \( \prod \limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)=\frac{n+1}{2 n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt.


Könnte mir jemand meine Ergebnisse prüfen bzw. erklären, wenn es falsch ist ?

a) 9/7

b) - 8/17

c) 1

d) Hilfe ?

e) unendlich

f) unendlich

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Bei b) sehe ich, dass du recht hast. 

Bei den andern müsste ich eine Rechnung sehen.

1 Antwort

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Du kannst deine Ergebnisse recht einfach mit Wolframalpha überprüfen.

a) https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+n-%3Einfinity+%283%C2%B7n+%2B+1%29%5E2%C2%B77%5En%2F%287%5E%28n+%2B+1%29%C2%B7%28n%5E2+%2B+2%29%29

9/7 hast du also völlig richtig ausgerechnet.

Die anderen schaffst du sicher selber zu überprüfen.

Avatar von 488 k 🚀
d) Ich würde den Nachweis mal mit vollständiger Induktion versuchen. Das sollte nicht so schwer sein. Den Grenzwert der Expliziten Formel kann man ja mit 1/2 direkt ablesen.

Sehr gut, danke :)

Ich komme aber nicht auf die richtigen Ergebnisse bei e und f, könntest du da helfen ?


Bei e habe ich am Ende 

n2-2n+6 / √(4n2-n+2)+√(3n2+n-4)

und habe ein n im Nenner ausgeklammert und Argumentiert, dass der Zähler gegen Unendlich läuft und da n im Nenner den größten Exponenten hat läuft es auch gegen Unendlich. Somit ist der Grenzwert im Limes Unendlich. 

Ist das richtig ?

Könntest du mir mit f ein bisschen helfen? Ich komme nicht mal auf ein Ansatz.

lim (x → ∞) √(4·n^2 - n + 2) - √(3·n^2 + n - 4)

lim (x → ∞) (√(4·n^2 - n + 2) - √(3·n^2 + n - 4))·(√(4·n^2 - n + 2) + √(3·n^2 + n - 4)) / (√(4·n^2 - n + 2) + √(3·n^2 + n - 4))

lim (x → ∞) ((4·n^2 - n + 2) - (3·n^2 + n - 4)) / (√(4·n^2 - n + 2) + √(3·n^2 + n - 4))

lim (x → ∞) (n^2 - 2·n + 6) / (n·√(4 - 1/n + 2/n^2) + n·√(3 + 1/n - 4/n^2))

lim (x → ∞) (n - 2 + 6/n) / (√(4 - 1/n + 2/n^2) + √(3 + 1/n - 4/n^2)) = ∞

lim (x → ∞) √(n + √(n + 2)) - √(n + 2)

lim (x → ∞) (√(n + √(n + 2)) - √(n + 2))·(√(n + √(n + 2)) + √(n + 2))/(√(n + √(n + 2)) + √(n + 2))

lim (x → ∞) ((n + √(n + 2)) - (n + 2)) / (√(n + √(n + 2)) + √(n + 2))

lim (x → ∞) (√n·√(1 + 2/n) + 2) / (√n·√(1 + 1·√(1/n + 2/n^2)) + √n·√(1 + 2/n))

lim (x → ∞) (√(1 + 2/n) + 2/√n) / (√(1 + 1·√(1/n + 2/n^2)) + √(1 + 2/n))

(√(1 + 0) + 0) / (√(1 + 1·√(0 + 0)) + √(1 + 0)) = 1/2


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