Grenzwerte der Folgen bestimmen: a_n=((3n+1)^2*7^n)/(7^{n+1}(n^2 + 2))

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Folgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}, \) falls sie existieren:

a) \( a_{n}=\frac{(3 n+1)^{2} \cdot 7^{n}}{7^{n+1} \cdot\left(n^{2}+2\right)} \)
b) \( a_{n}=\frac{8 n^{7}+(-1)^{n} n^{6}-n^{5}-\left(n^{2}+1\right)^{2}+2}{1+n^{2}-2 n^{4}-\left(1-(-1)^{n}\right) n^{5}-12 n^{6}-17 n^{7}} \)
c) \( a_{n}=\frac{3+\frac{1}{2 n}}{2-\sqrt[2]{5}} \)
d) \( a_{1}=1, a_{n}=\prod \limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right), n \geq 2 \)
e) \( a_{n}=\sqrt{4 n^{2}-n+2}-\sqrt{3 n^{2}+n-4} \)
f) \( a_{n}=\sqrt{n+\sqrt{n+2}}-\sqrt{n+2} \)

Hinweis zu (d): Weisen Sie zunächst nach, dass \( \prod \limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)=\frac{n+1}{2 n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt.

Könnte mir jemand meine Ergebnisse prüfen bzw. erklären, wenn es falsch ist ?

a) 9/7

b) - 8/17

c) 1

d) Hilfe ?

e) unendlich

f) unendlich

Comments

Bei b) sehe ich, dass du recht hast.

Bei den andern müsste ich eine Rechnung sehen.

Answer 1

Du kannst deine Ergebnisse recht einfach mit Wolframalpha überprüfen.

a) https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+n-%3Einfinity+%283%C2%B7n+%2B+1%29%5E2%C2%B77%5En%2F%287%5E%28n+%2B+1%29%C2%B7%28n%5E2+%2B+2%29%29

9/7 hast du also völlig richtig ausgerechnet.

Die anderen schaffst du sicher selber zu überprüfen.

Comments

d) Ich würde den Nachweis mal mit vollständiger Induktion versuchen. Das sollte nicht so schwer sein. Den Grenzwert der Expliziten Formel kann man ja mit 1/2 direkt ablesen.

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Sehr gut, danke :)

Ich komme aber nicht auf die richtigen Ergebnisse bei e und f, könntest du da helfen ?

Bei e habe ich am Ende

n^2-2n+6 / √(4n²-n+2)+√(3n²+n-4)

und habe ein n im Nenner ausgeklammert und Argumentiert, dass der Zähler gegen Unendlich läuft und da n im Nenner den größten Exponenten hat läuft es auch gegen Unendlich. Somit ist der Grenzwert im Limes Unendlich.

Ist das richtig ?

Könntest du mir mit f ein bisschen helfen? Ich komme nicht mal auf ein Ansatz.

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lim (x → ∞) √(4·n^2 - n + 2) - √(3·n^2 + n - 4)

lim (x → ∞) (√(4·n^2 - n + 2) - √(3·n^2 + n - 4))·(√(4·n^2 - n + 2) + √(3·n^2 + n - 4)) / (√(4·n^2 - n + 2) + √(3·n^2 + n - 4))

lim (x → ∞) ((4·n^2 - n + 2) - (3·n^2 + n - 4)) / (√(4·n^2 - n + 2) + √(3·n^2 + n - 4))

lim (x → ∞) (n^2 - 2·n + 6) / (n·√(4 - 1/n + 2/n^2) + n·√(3 + 1/n - 4/n^2))

lim (x → ∞) (n - 2 + 6/n) / (√(4 - 1/n + 2/n^2) + √(3 + 1/n - 4/n^2)) = ∞

lim (x → ∞) √(n + √(n + 2)) - √(n + 2)

lim (x → ∞) (√(n + √(n + 2)) - √(n + 2))·(√(n + √(n + 2)) + √(n + 2))/(√(n + √(n + 2)) + √(n + 2))

lim (x → ∞) ((n + √(n + 2)) - (n + 2)) / (√(n + √(n + 2)) + √(n + 2))

lim (x → ∞) (√n·√(1 + 2/n) + 2) / (√n·√(1 + 1·√(1/n + 2/n^2)) + √n·√(1 + 2/n))

lim (x → ∞) (√(1 + 2/n) + 2/√n) / (√(1 + 1·√(1/n + 2/n^2)) + √(1 + 2/n))

(√(1 + 0) + 0) / (√(1 + 1·√(0 + 0)) + √(1 + 0)) = 1/2