Für n ungerade ist der Beweis einfach:
f(x) hat mindestens eine und maximal n verschiedene Nullstellen.
D.h. der Funktionswert 0 kommt vor. Bei periodischen Funktionen muss jeder Funktionswert unendlich oft vorkommen. Das ist hier mit der oberen Grenze von n Nullstellen sicher nicht der Fall. D.h. Polynome von ungeradem Grad sind sicher nicht periodisch.
Für n gerade:
1.a) Periodische Funktionen sind immer noch periodisch, wenn man eine Konstante addiert.
1.b) Nichtperiodische Funktionen sind immer noch periodisch, wenn man eine Konstante addiert.
Betrachte
g(x) = f(x) - ao
Also
g(x) = an x^n + an-1 x^{n-1} + ........ + a1 x.
g(x) hat die Nullstelle x=0. Da aber maximal n Nullstellen vorliegen können, kommt 0 nicht unendlich oft vor.
g(x) ist also nicht periodisch.
Wegen 1.b) ist auch f(x) nicht periodisch.