lim n -> ∞ (ln(2^{n}+3^{n})) / n

Question

Brauche wieder mal Starthilfe bei einer Aufgabe
Aufgabe:
$$\underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { ln({ 2 }^{ n }+{ 3 }^{ n }) }{ n }  $$
So wirklich was mit den ln kann ich nicht machen. Ich habe schon es mit den Sandwichkriterium versucht aber dabei bekomme ich kein endgültiges Ergebnis.
$$ \frac { ln({ 3 }^{ n }) }{ n } \le \frac { ln({ 2 }^{ n }+{ 3 }^{ n }) }{ n } \le \frac { ln({ 3 }^{ n }+{ 3 }^{ n }) }{ n }  $$
$$\frac { n\quad ln({ 3 }) }{ n } \le \frac { ln({ 2 }^{ n }+{ 3 }^{ n }) }{ n } \le \frac { ln(2*{ 3 }^{ n }) }{ n } $$
$$ ln(3)\le \frac { ln({ 2 }^{ n }+{ 3 }^{ n }) }{ n } \le ln(6) $$
ich vermute dass es auch völliger Quatsch ist.Kann mir da bitte jemand Starthilfe geben?
Gruß
Anderlin

Answer 1

Hi,

bei deiner oberen Abschätzung hast du falsch umgeformt:

$$\frac{\ln(2\cdot3^n)}{n} = \frac{\ln(2)}{n} + \ln(3) \to \ln(3)$$

und nicht \( \ln(6) \)

Gruß

Comments

Na klarrrrrrr !!!! Oh man. Danke danke

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Kein Problem ;)

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$$ ln(3)\le \frac { ln({ 2 }^{ n }+{ 3 }^{ n }) }{ n } \le \frac { ln({ 2 }*{ 3 }^{ n }) }{ n } $$
$$ln(3)\le \frac { ln({ 2 }^{ n }+{ 3 }^{ n }) }{ n } \le \frac { ln({ 2 })+ln({ 3 }^{ n }) }{ n } $$
$$ln(3)\le \frac { ln({ 2 }^{ n }+{ 3 }^{ n }) }{ n } \le \frac { ln({ 2 })+n*ln({ 3 }) }{ n } $$
$$ ln(3)\le \frac { ln({ 2 }^{ n }+{ 3 }^{ n }) }{ n } \le \frac { ln({ 2 }) }{ n } +\frac { ln(3) }{ 1 } $$
$$\frac { ln({ 2 }) }{ n } +\frac { ln(3) }{ 1 } \underset { n\rightarrow \infty  }{ \longrightarrow  } \quad 0+ln(3) $$

Answer 2

Kleiner Tipp. Es gibt Wolframalpha. Der löst das bei Problemen.