Bestimmen sie die folgenden Mengen: { n Element Z | Im((1+i)^n) > 0 }

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie die folgenden Mengen:

\( \left\{n \in \mathbb{Z} \mid \operatorname{Im}\left((1+\mathrm{i})^{n}\right)>0\right\} \)

(Lösung, gerne aber nicht unbedingt erwartet, Lösungshinweise bitte.)

Comments

a) Menge der geraden ganzen Zahlen.

Answer 1

(a) alle geraden n   also   { n aus Z | es gibt ein k aus z mit n=2*k }

für d hätte ich auch noch was:
z = a+bi    also  zquer =  a -  bi

zquer^2 = a^2 + b^2 - 2abi    und iz  =   -b + ai

Damit das gleich ist a^2 + b^2  = -b   und   -2ab =  a

1. Fall a=0    dann gilt die 2. Gl und es muss
                   gelten     b^2 = -b also b^2 + b = 0   also b=0  oder b= -1 sein

also z = 0 + 0i    oder  z = 0  -  i

2. Fall a ungleich 0
           Dann gibt die 2. Gleichung  b=-0,5

und es muss gelten   a^2   + 0,25 = o,5
                                                      a^2 = 0,25
                                        a=0,5          oder a = -0,5
also z= o,5 - 0,5i          oder z = -0,5 - o,5 i

Comments

Frage: Wie kann ich die a) "aufschreiben" dann? 

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Ich würde einfach so argumentieren:

Sei n gerade, dann gibt es ein k aus N mit n=2*k

also i^n = i^{2*k} = (i^2)^k = (-1)^k also reell.

n ungerade gibt es ein kaus N mit n=2k+1

also i^n = ...............  =i^{2k+1} = i^{2k} * i^1 = .....  = (-1)^k * i

also ein reelles Vielfaches von i, also nicht aus IR.

Answer 2

b) {n∈Z | Im((1+i)ⁿ)>0}

Stell dir (1+i)^n    (meinetwegen in Polarkoordinaten) vor.

Für n=1 beträgt das Argument 45° = π/4.       Im (1+i)^1 > 0

Für n=2 Winkel 90° = π/2 .         Im (1+i)^2 > 0

Für n=3 Winkel 135° = 3π/4.       Im(1+i)^3 > 0

nun kommen die Winkel 180°, 225°, ..... 0° mit Im(1+i)^n ≤ 0

Nun die weiteren Lösungen (modulo 8 noch dazunehmen.

L = { 1,2,3,9,10,11,17,18,19,..... inkl. richtige, neg. Zahlen}

= { z Element Z | z ≡ 1 oder z ≡ 2 oder z ≡  modulo 8}