Wie untersucht man für welche x aus R die folgende Gleichung gilt?

Question

Aufgabenstellung: Untersuchen SIe, für welche x aus R die folgende Gleichung gilt

Gleichung:

|x+1| = 2*|x+2|+x

Answer 1

Da musst du Fälle unterscheiden

|x+1| = 2*|x+2|+x

1.Fall, sei x<-2   (also auch kleiner -1) dann sind die Terme zwischen den
Betragsstrichen negativ und aus der Gleichung wird
   -x-1   =  2*(-x-2)   + x
-x -1    =   -2x  -  4   + x
     -1  =   -4
 also gibt es in diesem Bereich keine Lösung

2.Fall   x>=-2 aber x<-1   dann wirds nur im ersten Betrag  negativ, also hast du
-x-1   =  2*(x+2)   + x
-x-1 = 2x + 4 + x
-4x = 5  also  x=-1,25
und diese Zahl liegt wirklich zwischen -2 und -1
also ist das schon mal eine Lösung.

3.Fall    x>=-1 dann spielen die Beträge keine Rolle
also     x+1   =  2*(x+2)   + x
            x+1  =  2x  + 4 + x
                -3  =  2x
             -1,5 = x
Die -1,5 ist aber keine Lösung, da im 3. Fall nur x>=-1
betrachtet wird.

Also gibt es nur die eine Lösung von Fall2
          

Comments

Vielen Dank für die Antwort! Aber wie kommt man auf die Fallunterscheidung?

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Du kannst dir immer überlegen, ob das was in dem Betrag steht sowieso schon

positiv oder Null ist, dann kannst du einfach den Betrag durch

eine ganz normale Klammer ersetzen und ausrechnen; denn bei nicht

negativen Werten macht der Betrag ja nichts.

Falls nun das im Betrag negativ ist,musst du den ganzen Betragsinhalt mal -1 nehmen

und kannst dann damit rechnen.

Answer 2

Die Fallunterscheidungen ergeben sich aus den Nullstellen der Beträge

⎮x + 1⎮ = 2·⎮x + 2⎮ + x

Fallunterscheidungen

x + 1 >= 0 --> x >= -1

x + 2 >= 0 --> x >= -2

Diese zwei Werte für x teilen den Zahlenstrahl in 3 Bereiche bzw. die 3 Fälle.

1. Fall x <= -2

2. Fall -2 <= x <= -1

3. Fall x >= -1