Wie zeige ich das die Abbildung injektiv bzw. subjektiv ist?

Question

Es seien \( \varphi: U \rightarrow V \) und \( \psi: V \rightarrow W \) lineare Abbildungen.

a) Zeigen Sie, dass aus \( \boldsymbol{u} \in \operatorname{ker}(\varphi) \) folgt, dass \( \boldsymbol{u} \in \operatorname{ker}(\psi \circ \varphi) \) ist. Das bedeutet, dass \( \operatorname{ker}(\varphi) \subseteq \operatorname{ker}(\psi \circ \varphi) \) ist.

Folgern Sie daraus, dass \( \varphi \) injektiv ist, wenn \( \psi \circ \varphi \) injektiv ist.

b) Zeigen Sie, dass aus \( \boldsymbol{w} \in \operatorname{im}(\psi \circ \varphi) \) folgt, dass \( \boldsymbol{w} \in \subseteq \operatorname{im}(\psi) \) ist. Das bedeutet, dass \( i m(\psi \circ \varphi) \subseteq \operatorname{im}(\psi) \).

Folgern Sie daraus, dass \( \psi \) surjektiv ist, wenn \( \psi \circ \varphi \) surjektiv ist.

Comments

Eine lineare Abbildung (bzw. für Homomorphismen allgemein) gilt, dass sie genau dann injektiv sind, wenn ihr Kern trivial ist, d.h. nur aus der \(0\) besteht. Die \(0\) ist immer im Kern einer linearen Abbildung enthalten (mach dir klar warum!). Es gilt also für eine lineare Abbildung \(f\):
$$ f~injektiv~\Leftrightarrow~\ker(f)=0~. $$

So, wenn du jetzt zwei lineare Abbildungen \(\varphi, \psi\) hast und \(\ker(\varphi) \subset \ker(\psi \circ \varphi)\) gilt, dann gilt natürlich die folgende Implikation:
$$ \ker(\psi \circ \varphi) = 0~\Rightarrow~\ker(\varphi)=0~. $$
Wenn du dazu fragen hast, stell sie bitte unbedingt, das ist alles ziemlich elementar!

Also musst du nur zeigen, dass \(\ker(\varphi) \subset \ker(\psi \circ \varphi)\). Das ist ein ganz normaler Mengenbeweis, kriegst du das hin?

Zur b) kommen wir später. Schau dir aber mal die Definition von Surjektivität und vom Bild (\(im\)) an. Wie muss das Bild einer surjektiven Abbildung aussehen? Denk dabei an die Definition von Surjektivität.

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erst mal danke für die schnelle und ausführliche Antwort. Mengenbeweis, wie mache ich den in diesem Fall? Bin gerade überfordert, hoffe du kannst mir es ausführlich erläutern.

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Mengenbeweis wäre so:

Sei x aus ker(phi)   Dann ist phi(x)=0

dann ist psi(phi(x) = psi(0) = 0

weil bei lin. Abb immer gilt :   bild von 0 ist 0

Answer 1

im Kommentar stand ja:
Zur b) kommen wir später. Schau dir aber mal die Definition von Surjektivität und vom Bild (im) an. Wie muss das Bild einer surjektiven Abbildung aussehen? Denk dabei an die Definition von Surjektivität.

Falls du es jetzt schon brauchst, hier etwas genauer:
sei w aus im von psi kringel phi, dann gibt es ein x aus U mit
psi kringel phi von x = w
dann ist psi( phi(x) ) = w
also gibt es ein y aus V  (nämlich y=phi(x) )
mit psi(y) = w
also w aus Im(psi).

wenn nun psi kringel phi surjektiv ist, dann ist Im(psi kringel phi )=W

aber es ist (wie gerade bewiesen)   Im(psi kringel phi ) Teilmenge von Im(psi)
damit also W teilmenge von Im(psi).  Da aber natürlich immer Im(psi) teilmenge von W
ist, aht man  Im(psi) = W.   also psi surjektiv.