Überprüfen Sie, ob folgende Teilmengen U Untergruppen von G sind.

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie, ob folgende Teilmengen \( U \) Untergruppen von \( G \) sind.

(i) \( G=\mathbb{Z} \times(\mathbb{Q} \backslash\{0\}) \), das Produkt von \( (\mathbb{Z},+) \) und \( (\mathbb{Q} \backslash\{0\}, \cdot) \), und \( U=\left\{(a, b) \in G \mid b=2^{a}\right\} \),

(ii) \( G=S_{4} \) und \( U=\left\{\sigma \in S_{4} \mid \sigma^{2}=\mathrm{id}\right\} \),

(iii) \( G=S_{4} \) und \( U=\{ \) id \( \} \cup\left\{\sigma \in S_{4} \mid \sigma\right. \) ist eine Transposition \( \} \),

(iv) \( G \) eine beliebige Gruppe und \( U=\{a \in G \mid a b=b a \) für alle \( b \in G\} \).

Ansatz:

Ich weiß, dass ich die drei Gruppenkriterien durchgehen muss.

Das erste lautet ja: Für alle a,b ∈ U gilt a·b ∈ U.

Wenn ich (i) betrachte, erhalte ich ja ein 2-Typel, wenn ich ich die beiden Gruppen (ℤ,+) und (ℚ*,·) miteinander verknüpfte.

Also (a,b) ∈ G, wobei a ∈ ℤ und b ∈ ℚ* ist.

Nun müsste ja, wenn U eine Untergruppe von G ist, (a,b) verknüpft mit (c,d) ∈ von U sein. Woher weiß ich jetzt wie ich die beiden miteinander verknüpfen muss? Muss ich sie so verknüpfen: (a,b) x (c,d)? Dadurch hätte ich ja wieder ein 2-Tupel ((a,b), (c,d)), wobei (a,b) und (c,d) ja selbst auch 2-Tupel sind. Ich denke mal nicht, dass es so funktioniert.

Also zunächst lautet meine Frage allgemein mal, woher ich weiß, was ich als Verknüpfung nehmen muss.

Answer 1

Hi,

aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass du zwei Elemente (a,b), (c,d) ∈ G folgendermaßen verknüpfst:

(a,b)*(c,d) = (a+b, c*d), wobei im ersten Argument (also in a+b) die Summe zweier ganzer Zahlen verwendet wird und im zweiten Argument ( also c*d) das Produkt zweier rationaler Zahlen steht.

Vielleicht ein Beispiel um es dir klarer zu machen: (2, 3/4), (-5, 1/6) ∈ G

(2, 3/4) * (-5, 1/6) = (2+(-5), 3/4 * 1/6) = ( -3, 1/8) ∈ G

EDIT: Danke @ Mister, hatte das mit dem Produkt falsch gelesen .

Gruß

Comments

Bei den ganzen Zahlen soll die Summe als Verknüpfung genommen werden (entsprechend \( (\mathbb{Z}, +) \)).

Dies ist auch logisch, weil die Schreibweise \( b = 2^a \) mit \( a \in \mathbb{Z} \) und \( b \in \mathbb{Q} \) die Multiplikation in \( \mathbb{Q} \) mit der Addition in \( \mathbb{Z} \) verknüpft:

Seien \( (a, b), (a', b') \) in \( U \). Dann gilt \( b = 2^a \) und \( b' = 2^{a'} \). Es ist wegen

\( b b' = 2^{a+a'} \) das so definierte Produkt \( (a, b) \cdot (a', b') = (a+a', b\cdot b) \) in \( U \).

Damit ist \( U \) in (i) eine Untergruppe von \( G \).