Das Z meint ja hier wohl die Gruppe (Z,+).
Dann macht es Sinn:
Für "injektiv" ist zu zeigen: wenn für zwei Homomorphismen a und b (von Z nach G)
gilt a(1) = b(1), dann ist auch a = b.
Dies ist so, weil durch a(1)= g in der Tat der ganze Hom festgelegt ist
denn dann ist für positives n immer a(n) = a(1+1+1....+1) = g*g*g******g
[genau müsste man das wohl mit Induktion beweisen.]
und wegen Hom auch a(-1) = g^{-1} also das Inverse von g
und ähnlich dann für die negativen ganzen Zahlen
a( -1 + -1 + -1 + ...........+(-1) = Produkt der g^{-1}
surjektiv: gibt es für jedes El. von G einen Hom mit a(1) = g,
klar, denn für g aus G definiere einfach dem Hom durch
g*g*g*.....*g n-Faktoren, gern auch g^n genannt für n>0
a(n) = eG für n=0
h^k (mit h=inverses von g) für n<0 und k=-n