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" Sei G eine Gruppe. Man beweise dass die Vorschrift a → a(1) eine Bijektion Grp(Z,G) → G zwischen der Menge der Gruppenhomomorphismen von den ganzen Zahlen Z nach G und der Menge G selbst definiert."


Vielen herzlichen Dank :)

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1 Antwort

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Das Z meint ja hier wohl die Gruppe (Z,+).
Dann macht es Sinn:
Für "injektiv" ist zu zeigen:   wenn für zwei Homomorphismen a und b (von Z nach G)
gilt   a(1) = b(1), dann ist auch a = b.
Dies ist so, weil durch a(1)= g in der Tat der ganze Hom festgelegt ist
denn dann ist für positives n  immer a(n) = a(1+1+1....+1) = g*g*g******g
[genau müsste man das wohl mit Induktion beweisen.]
und wegen Hom auch   a(-1) = g^{-1} also das Inverse von g
und ähnlich dann für die negativen ganzen Zahlen
                    a(  -1  +  -1  + -1 + ...........+(-1) =  Produkt der g^{-1} 

surjektiv:    gibt es für jedes El. von G einen Hom mit a(1) = g,
klar, denn für g aus G definiere einfach dem Hom durch
                                        g*g*g*.....*g  n-Faktoren, gern auch g^n genannt  für n>0

                         a(n) =     eG für n=0
                                      
                                       h^k  (mit h=inverses von g)  für n<0 und k=-n

Avatar von 289 k 🚀

Nein also Z sind schon die ganzen Zahlen und nicht eine Gruppe

es sind die ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung

und das ist eine Gruppe

(war eigentlich klar, dass es um Addition ging;

denn mit * ist Z keine Gruppe, da es z.B. keine Inversen gibt.

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