Bijektion zwischen Gruppenhomomorphismen

Question

" Sei G eine Gruppe. Man beweise dass die Vorschrift a → a(1) eine Bijektion Grp(Z,G) → G zwischen der Menge der Gruppenhomomorphismen von den ganzen Zahlen Z nach G und der Menge G selbst definiert."

Vielen herzlichen Dank :)

Answer 1

Das Z meint ja hier wohl die Gruppe (Z,+).
Dann macht es Sinn:
Für "injektiv" ist zu zeigen:   wenn für zwei Homomorphismen a und b (von Z nach G)
gilt   a(1) = b(1), dann ist auch a = b.
Dies ist so, weil durch a(1)= g in der Tat der ganze Hom festgelegt ist
denn dann ist für positives n  immer a(n) = a(1+1+1....+1) = g*g*g******g
[genau müsste man das wohl mit Induktion beweisen.]
und wegen Hom auch   a(-1) = g^{-1} also das Inverse von g
und ähnlich dann für die negativen ganzen Zahlen
                    a(  -1  +  -1  + -1 + ...........+(-1) =  Produkt der g^{-1} 

surjektiv:    gibt es für jedes El. von G einen Hom mit a(1) = g,
klar, denn für g aus G definiere einfach dem Hom durch
                                        g*g*g*.....*g  n-Faktoren, gern auch g^n genannt  für n>0

                         a(n) =     e_G für n=0
                                      
                                       h^k  (mit h=inverses von g)  für n<0 und k=-n

Comments

Nein also Z sind schon die ganzen Zahlen und nicht eine Gruppe

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es sind die ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung

und das ist eine Gruppe

(war eigentlich klar, dass es um Addition ging;

denn mit * ist Z keine Gruppe, da es z.B. keine Inversen gibt.