Bestimmen sie alle oberen Dreiecksmatrizen B

Question

Aufgabe:

a) Gegeben sind die Matrizen

\( A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right), B_{1}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right), B_{2}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right), B_{3}=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \)

Für welche \( i \in\{1,2,3\} \) lässt sich die Matrix \( X \) so bestimmen, dass \( X \) die Gleichung

\( X \cdot A \cdot\left(X \cdot A^{-1}\right)^{-1}=B_{i} \)
erfüllt? Bestimmen Sie gegebenenfalls alle Matrizen \( X \).

b) Gegeben ist die Matrix \( A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -3\end{array}\right) \)

Bestimmen Sie alle oberen Dreiecksmatrizen \( B \), für die gilt:

\( (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} . \)

Answer 1

Aufbabe 6:

a)
Zunächst einmal formt man die Gleichung um:

Es kommt nur die Einheitsmatrix in Frage. Für X muss die Inverse existieren --> det{X} =/= 0.

 

b)

Anmerkung:
Man setzt A und B in die Gleichung BA = AB ein und  erhält 9 Gleichungen indem man die erste Position von BA mit der ersten Position von AB gleichsetzt und so weiter. Daraus zieht man dann Schlußfolgerungen.