Extrem- und Wendepunkt von f(x)=(4-x)*e^{-x}

Question

Hallo ich muss in Mathe den/die Extrempunkte und den Wendepunkt von der Funktion f(x)=(4-x)*e^-x berechnen, leider schaffe ich es nicht einmal die Ableitungen zu bestimmen... :( Das wäre echt super toll wenn das jemand für mich machen könnte.. (Ist doch hoffentlich nicht soviel oder???)

Vielen vielen Dank!! :))

Comments

f(x) = e^{-x}·(4-x)
f '(x) = e^{-x}·(x - 5)
f ''(x) = e^{-x}·(6 - x)

Jetzt solltest Du den Rest alleine können oder?

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kurze Frage wird bei der 1. Ableitung das e^-x nicht zu -e^-x oder ist das schwachsinn was ich hier schreibe? :D

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also wenn ich mal deine Ableitungen nehme bekomme ich bei den x-werten das:

 

Extrempunkt: f'(x)=0

e-x*(x-5)=0
x-5=0

x=5

Das muss ich dann in f(x)=(4-x)*e-x einsetzen also:

f(5)=(4-5)*e-5

= ???? keine Ahnung :S

passt das denn so?

Wendepunkt: f''(x)=0

e-x*(6-x)=0

6-x=0

x=6

Einsetzen:

f(6)=(4-6)*e-6
= ??

ist das falsch oder passt das so?

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ich meine beim Einsetzten beim Extrempunkt e^-5 und beim Wendepunkt e^-6

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Yup, das ist richtig. Jetzt noch ausrechnen ;).

f(5)=(4-5)*e^-5≈-0,0067

f(6)=(4-6)*e^-6≈-0,0049

 

 

Wegen der Ableitung: Du kannst direkt die Produkt- (und Kettenregel) anwenden, oder erst ausmultiplizieren und jeden Summanden an sich ableiten. Es braucht wieder beide Regeln (zumindest für einen Summanden). Probierst du es selbst?

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danke, das ausrechnen konnte ich net.. also hat der Extrempunkt die Koordinaten (5|-0,0067)

und der Wendepunkt (6|-0,0049)? Das sind ja blöde y-werte :D

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Entweder so stehen lassen als E(5|-0,0067) oder als E(5|-e^-5). Letzteres ist dann gar nicht mehr so unschön, wobei ersteres eher eine Vorstellung erlaubt, an welcher Stelle des Zahlenstrahls wir uns befinden ;).

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Nun weiß man aber immer noch nicht, ob an der Stelle  x = 5  tatsächlich ein Extrempunkt vorliegt und, falls das der Fall sein sollte, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Dazu müsste man den Wert noch in die zweite Ableitung einsetzen.

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Na dann tu das. Der Weg ist der richtige. Du musst ihn nur noch beschreiten ;).

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das mit dem in 2. Ableitung einsetzten habe ich net geschrieben :D zu viele "Anonym" leute hier.. also wenn ich das in die 2. Ableitung einsetzte und da <0 rauskommt ist es ein Tiefpunkt und >0 ein Hochpunkt oder anderrum?

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Aso^^. In der Tat zu viele "Anonym".

 

Ist genau andersrum:

f'(x)=0 und f''(x)<0 -> Hochpunkt

f'(x)=0 und f''(x)>0 -> Tiefpunkt

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ahh so meinte ich das auch aber gut :) Vielen vielen dank dann wären jetzt alle fragen geklärt :))

Answer 1

Ich kopiere mal die Antworten im Kommentar zusammen:

f(x) = e^{-x}·(4-x) 
f '(x) = e^{-x}·(x - 5) 
f ''(x) = e^{-x}·(6 - x)

Extrempunkt: f'(x)=0

e^{-x}*(x-5)=0
x-5=0

x=5

f(5)=(4-5)*e^{-5} = -e^{-5} ≈ -0,0067

E(5| -0.0067)



Wendepunkt: f''(x)=0

e^{-x}*(6-x)=0

6-x=0

x=6

 

f(6)=(6-4)*e^-6 = 2 e^{-6} ≈ 0,0049    Achtung: Vorzeichen!

W(6 | 0.0049)

Betrachte nun die bekannten Punkte

f(4) = 0 Nullstelle N(4|0)

E(5 | -0.0067 )

W(6 | 0.0049)

Das heisst, die Kurve verläuft zwischen x=4 und x=5 gegen unten und danach gegen oben.

Deshalb ist E ein Tiefpunkt. Man muss die Rechnung eigentlich gar nicht mehr durchführen.

Ansonsten wäre die Rechnung, wie im Kommentar oben diskutiert:

f'(x)=0 und f''(x)<0 -> Hochpunkt

f'(x)=0 und f''(x)>0 -> Tiefpunkt