Lineare Abbildung f R^2 → R^2 Matrix angeben, wenn f(1,1) = (1,0), f(-1,1) = (-3,2) und ...

Question

Aufgabe:

Ich soll gucken, ob es eine lineare Abbildung  f : R^2 → R^2 gibt und soll die dazugehörige Matrix bestimmen.

\( f\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right), \quad f\left(\begin{array}{r}-1 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-3 \\ 2\end{array}\right) \) und \( f\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-1 \\ 1\end{array}\right) \)

Answer 1

[a, b; c, d]·[1; 1] = [1; 0] --> a + b = 1 ∧ c + d = 0

[a, b; c, d]·[-1; 1] = [-3; 2] --> a - b = 3 ∧ c - d = -2

[a, b; c, d]·[0; 1] = [-1; 1] --> b = -1 ∧ d = 1

a = 2 ; c = -1

Die Matrix lautet

[2, -1; -1, 1]

Comments

Kannst du mir das etwas genauer erklären wie man jetzt darauf kommt ?

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Naja. Schreibe die Gleichungen doch mal auf und multipliziere aus. Ich nehme an du weißt wie man eine Matrix und einen Vektor multiplizieren kann.

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Ja an sich schon, nur sehe ich das hier nicht genau in deinem Rechenweg

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Ist nicht: [a, b; c, d]·[-1; 1] = [-3; 2] --> a - b = 3

[a, b; c, d]·[-1; 1] = [-3; 2] --> -a + b = -3 ? 

(*-1) = [a, b; c, d]·[-1; 1] = [-3; 2] --> a - b = 3

?

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Danke Mathecoach ich habs !

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Also den Ablauf habe ich jetzt bei dieser Aufgabe verstanden, nur wie sieht es beim R^3 → R^2 aus?

\( g\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right), g\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right), g\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-1 \\ 2\end{array}\right) \)

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Schreib die allgemeine Matrix auf, die zu dieser Abbildung gehört. Stelle die Gleichungen auf. Ziehe daraus die richtigen Schlussfolgerungen.

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Dann ist :

0 1 1 |  1  1

1 0 1 |  0  1

1 1 0 | -1 2

Ergibt dann:

[-1,0,1; 1 1 0]

als Ergebnis. Danke

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Ich habe jetzt nur noch eine letzte Frage:

Für die nächste Aufgabe komme ich auf keine passende Matrix, da a unterschiedliche Werte annehmen kann:

\( g\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right), \quad g\left(\begin{array}{r}-1 \\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right) \) und \( g\left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}0 \\ -2\end{array}\right) \)

b = 1, d=0 c=-1 mit a gibt es aber keine passende Lösung ?

Wie soll man da denn die Matrix angeben, bzw. was kann man als Antwort dazu sagen?

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b = 1 ∧ d = 0

a - 2·b = -2 ∧ c - 2·d = -1
a = 0 ∧ c = -1

2·a + b = 0 ∧ 2·c + d = -2
Hier gibt es einen Widerspruch. Daher gibt es keine lineare Abbildung die die Bedingung erfüllt.

Answer 2

Vielleicht kennst du ja etwas von der Theorie her:

In den Spalten der Abbildungsmatrix stehen die Bildvektoren der Basisvektoren (1,0) und (0,1).

Daher ist schon mal klar, dass

A = ( ...., -1 ; ...., 1 ) sein muss.

f(1,1) - f(-1, 1) = f(0,2) = ( 1, 0) - (-3, 2) = ( 4, -2)       | : 2

f(1,0) = (2,-1)

Daher gilt

A = (2 , -1 ; -1, 1)

Kontrolle der Methode: Rechnung wie Mathecoach vorgerechnet hat.