Was sollst du machen? Faktorisieren oder ausmultiplizieren?
Fürs Faktorisieren musst du meiner Meinung nach die Polynomdivision beherrschen.
Faktorisieren bedeutet, einen Term möglichst weit zu vereinfachen und zwar so, dass am Ende Produkte von möglichst kurzen Termen da stehen.
(x-k) ist bereits ziemlich gut, das kann man nicht mehr faktorisieren, aber 2x²-xk-k² geht noch besser:
Dafür musst du folgendes wissen: man kann jeden Term, der polynomiell in einer Variablen ist (in dem also nur solche Sachen x, x², x3, ... auftreten) in sogenannte Linearfaktoren aufteilen. Das heißt, man kann ihn immer in ein Produkt aus Termen der Form (x-c) aufteilen, wobei c eine Nullstelle des gesamten Terms ist. Übrig bleiben dann sogenannte quadratische Terme der Form (x²+ax+b) die keine Nullstelle in ℝ besitzen. Zusätzlich ist noch eine Zahl k als Faktor erlaubt, so dass jeder Term schließlich als dargestellt werden kann als:
q0+q1*x+q2*x2+q3*x3+... = k*(x-c1)*(x-c2)*...*(x2+a1x+b1)*(x2+a2x+b2)*...
Durch Ausprobieren kannst du feststellen, dass der Term aus der Aufgabe eine Nullstelle bei x=k hat, denn
2k²-k*k-k² = 0.
Der erste Linearfaktor ist also (x-k). Jetzt musst du nur noch einen zweiten Faktor (x-c) finden, für den gilt:
a*(x-k)*(x-c) = 2x²-xk-k²
Dafür forme ich den linken Term um:
a*(x²-kx - cx + ck) = 2x²-xk-k²
Damit das irgendwie aufgehen kann, muss a=2 gelten, sonst fällt das x² nicht raus!
2*ck-2*cx = xk-k²
2*c*(k-x) = k*(x-k)
c = -k/2
Also lautet der Term komplett faktorisiert:
(2x²-xk-k²)*(x-k) = 2*(x-k)*(x-k) * (x+k/2) = 2*(x-k)2*(x+k/2)
