Ich würd erst mal so überschlagen:
Die Fakultät im Nenner wird ja ganz schön groß im Verhältnis
zu den anderen Teilen. Also ist es wahrscheinlich konvergent.
Dann kann man es ja mal mit einer Majorante versuchen
nämlich (3^n + 3n ) / (n+1)! (kleinerer Nenner, also Majorante
hier sagt das Quot.krit nach Abschaffung des Doppelbruches
(((3^{n+1} + 3n+3 ) * (n+1)! ) / (( (n+2)! * (3^n + 3n) )
kannst du schon mal (n+1)! kürzen
(3^{n+1} + 3n+3 ) / ( (n+2)* (3^n + 3n) )
= ( 3 * ( 3^n +n +1 )) / ((n+2) (3^n + 3n ))
da n+1 <= 3n ist, ist das
<= ( 3 * ( 3^n +3n )) / ((n+2) (3^n + 3n ))
= 3 / (n+2) also sicherlich < 1
also ist die Majorante konvergent und damit auch die Reihe selbst.