Folgen auf konvergenz oder divergenz überprüfen

Question

Ich habe folgende Reihe gegeben und muss sie auf Konvergenz oder Divergenz überprüfen:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+3 n}{(n+1) !+1} \)

Mein Ansatz dazu wäre mit dem Quotientenkriteriem, jedoch komm ich dann nicht mehr weiter.

(3^{n+1}+3n+3)/((n+2)!+1)*((n+1)!+1)/(3^n+3n)

Answer 1

Ich würd erst mal so überschlagen:

Die Fakultät im Nenner wird ja ganz schön groß im Verhältnis

zu den anderen Teilen.  Also ist es wahrscheinlich konvergent.

Dann kann man es ja mal mit einer Majorante versuchen

nämlich   (3^n  + 3n ) / (n+1)!      (kleinerer Nenner, also Majorante

hier sagt das Quot.krit  nach Abschaffung des Doppelbruches

(((3^{n+1} + 3n+3 ) * (n+1)! )  /   (( (n+2)! * (3^n + 3n) )

kannst du schon mal (n+1)! kürzen

(3^{n+1} + 3n+3 )   / ( (n+2)* (3^n + 3n) )

= ( 3 * ( 3^n   +n +1 ))  /  ((n+2) (3^n + 3n ))

da n+1 <= 3n ist, ist das

<= ( 3 * ( 3^n   +3n  ))  /  ((n+2) (3^n + 3n ))

= 3 / (n+2) also sicherlich < 1

also ist die Majorante konvergent und damit auch die Reihe selbst.

Comments

Wieso kann man am Anfang im Nenner das +1 weglassen ?

Wieso kann man n+1 im Zähler durch 3n ersetzen ?