stell dir vor du hast eine Schachtel mit 10 Kugeln auf denen die Zahlen 1 bis 10 stehen.
Wenn du jetzt 10 mal hintereinander ziehst ohne die Kugeln zurückzulegen, welche möglichen Ziehungen können entstehen:
Die Lösung ist 10! (für die 1. Ziehung 10 Möglichkeiten, für die 2. Ziehung 9, usw.)
Sagen wir du ziehst nur 3 mal. Wieviel Mögliche Ziehungen gibt es hier?
10*9*8 = 10!/7!
Hierbei wird aber die Ziehung (1, 5, 9) und (9, 5, 1) als unterschiedliche Möglichkeiten betrachtet, weil die Reihenfolge der Ziehung dieser Nummern eine Rolle spielt (also in welcher Reihenfolge die Zahlen gezogen werden).
Spielt die Reihenfolge keine Rolle so betrachten wir solche Ziehungen als insgesamt 1 Möglichkeit. Unter dieser Berücksichtigung entspricht die Anzahl 3 Zahlen aus 10 ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu ziehen dem Binomialkoeffizienten \( \binom{10}{3} \).
Der Zusammenhang:
Wir müssten theoretisch nur alle Möglichkeiten 3 Zahlen aus 10 zu ziehen (mit Reihenfolge) durch die Anzahl der Permutationen der Reihenfolge teilen (Permuation einer 3elementigen Menge ist 3!) und wir erhalten die Anzahl der Möglichkeiten ohne Reihenfolge:
$$ \frac{10!}{7! \cdot 3!} = \binom{10}{3} $$
Gruß
