Abiturvorbereitung: Sprungschanze. Geben Sie eine Gleichung der Funktion an, auf deren Graph alle Tiefpunkte liegen.

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Aufgabe:

Eine Firma baut Sprungschanzen für BMX-Fahrer in verschiedenen Formen, deren seitliches Profil jeweils durch den Graphen einer Funktion $f_{e}$ mit der Gleichung

$f_{a}(x)=-\frac{1}{4 \cdot a^{2}} x^{3}+\frac{3}{4} x, \quad-8 \leq x \leq 0$

beschrieben wird mit $3,2 \leq a \leq 4\left(x, a\right.$ und $f_{a}(x)$ in Metern).

Die Sprungschanzen werden ausgehend vom Startpunkt $S_{a}\left(-8 \mid f_{a}(-8)\right)$ von links nach rechts durchfahren und so eingebaut, dass der Absprungpunkt $A(0 \mid 0)$ auf dem Niveau des Erdbodens liegt, das in der Seitenansicht durch die $x$ -Achse festgelegt ist.

Der Funktionsgraph der Beispielfunktion $f_{3,6}$ ist in der Abbildung dargestellt.

Zur Kontrolle: $\left.T_{a}\left(-a \mid-\frac{1}{2} a\right)\right.$

(3) Geben Sie eine Gleichung der Funktion k an, auf deren Graph alle Tiefpunkte $T_{a}$ der Funktionsgraphen von $f_{a}$ liegen.

(1) Zeigen Sie, dass alle Sprungschanzen, deren Profil durch eine der Funktionen $f_{2}$ gegeben ist, im Absprungpunkt A dieselbe Steigung haben.

(3) Rechts vom Punkt $A$ soll ein Aufsprunghügel angelegt werden, dessen seitliches Profil durch den Graphen der Funktion $\mathrm{h}$ mit der Gleichung $h(x)=\frac{3}{100} x^{3}-\frac{3}{10} x^{2}+\frac{3}{4} x, 0 \leq x \leq 5$ , beschrieben wird (siehe Abbildung 2). Berechnen Sie die Koordinoten des Punktes $C$ , in dem der BMX-Fahrer aus (2) den größten vertikalen Abstand vom geplanten Aufsprunghügel hätte.