Ist meine Lösung korrekt? Wie geht es weiter? Extremalprobleme

Question

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1/4 x^4 - x^2 + 1

Berechnen Sie, welches von allen Dreiecken mit den Eckpunkten A(0 / 9), B(x / f(x)) und C(- x / f(-x)) mit f(x) ≤ 9 maximalen Flächeninhalt hat.

Meine Rechenschritte:

1. EB: A = 1/2 · c · h

2. NB: c = 2x

h = 9 - f(x)

h = - 1/4 x^4 + x^2 + 8

A = 1/2 · 2x · (- 1/4 x^4 + x^2 + 8)

A = - 1/4 x^5 + x^3 + 8x

A ' = - 5/4 x^4 + 3x^2 + 8

- 5/4 x^4 + 3x^2 + 8 = 0

z = x^2

- 5/4 z^2 + 3z + 8 = 0

z^2 - 12/5 z - 32/5 = 0

Rechnung mit pq - Formel:

x = 1,75

Aber was jetzt? Wie soll ich jetzt herausfinden, welches von den Dreiecken den maximalen Flächeninhalt hat?

Gruß

Comments

Weiß keiner weiter? Unknown, georgborn, Emre123...

Answer 1

ich habe deine Aufgabe erst heute morgen ( Mo ) entdeckt.
Ich übernehme von dir.

- 5/4 z² + 3z + 8 = 0
z² - 12/5 z - 32/5 = 0
Rechnung mit pq - Formel:
x = 1,75 

Mein Matheprogramm sagt mir
z = -8/5
z = 4
Die Negativlösung entfällt
x^2 = z = 4
x = ± 2
Die Funktion f ( x ) ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Für x = 2 und x =-2 ist die Fläche ( Dreiecke ) gleich.

Aber was jetzt? Wie soll ich jetzt herausfinden, welches von den
Dreiecken den maximalen Flächeninhalt hat?

Du könntest z = 4 in die 2.Ableitung einsetzen.
g := - 5/4 z² + 3z + 8
g ´= -10/4 * z + 3
g ´( 4 ) = -10 + 3 = -7
2.Ableitung ist negativ also Hochpunkt.

Answer 2

1. EB: A = 1/2 · c · h

2. NB: c = 2x

h = 9 - f(x)

h = - 1/4 x⁴ + x² + 8

A = 1/2 · 2x · (- 1/4 x⁴ + x² + 8)

A = - 1/4 x⁵ + x³ + 8x

A ' = - 5/4 x⁴ + 3x² + 8

- 5/4 x⁴ + 3x² + 8 = 0

z = x²

- 5/4 z² + 3z + 8 = 0

z² - 12/5 z - 32/5 = 0

Rechnung mit pq - Formel:

x = 1,75

Aber was jetzt? Wie soll ich jetzt herausfinden, welches von den Dreiecken den maximalen Flächeninhalt hat?

Ist doch fast fertig:   Für x=1,75 wird A(x) maximal
( Ich würde vielleicht noch ergänzen, dass A ' ' (1,75) < 0 ist, also bei x = 1,75 wirklich
ein Maximum und nicht etwa ein Min. vorliegt. )
und dann zurück zum Ansatz   c = 2x und h = 9 - f(x) und dort einsetzen
und die max. Fläche ausrechnen.
und die Ecken sind doch A(0 / 9), B(x / f(x)) und C(- x / f(-x))
also auch hier 1,75 einsetzen und dann hast du die Koordinaten.

Der Zusatz "mit f(x) ≤ 9 " ist auch noch wichtig.
Berechne dir wann f(x) = 9 gilt  dass ist wohl bei +-√(8)
Dann sind 0 und √(8) die Randwerte, des betrachteten Bereiches
aber wenn du das in A(x) einsetzt gibt es Null, also sind
am Rand Minima der Funktion und bei 1,75 ist das ges. Max.