Stetige Funktion f...

Question

Aufgabe:
Gegeben: Sei f : [ -1, 1] → ℝ eine stetige Funktion mit f(1) = f(-1).
zu zeigen: Es gibt mindestens ein x ∈ [ 0, 1] gibt mit f(x) = f(x-1)

Mein Ansatz dazu wäre:
Die Funktion f ist wegen f(x) = f(-x) achsensymmetrisch (zur y-Achse). Wählt man nun für x=0,5 und setzt es in die Funktionsgleichung ein, erhält man: f(0,5) = f(0,5-1) ⇔ f(0,5) = f(-0,5) .
Ich denke aber, dass mein Ansatz für diese Aufgabe nicht ausreichen würde. Eine hilfreiche Antwort würde mich sehr freuen☺

Answer 1

Aufgabe:
Gegeben: Sei f : [ -1, 1] → ℝ eine stetige Funktion mit f(1) = f(-1).
zu zeigen: Es gibt mindestens ein x ∈ [ 0, 1] gibt mit f(x) = f(x-1)

Mein Ansatz dazu wäre:
Die Funktion f ist wegen f(x) = f(-x) achsensymmetrisch (zur y-Achse).
Das ist nur für x=1 gegeben, nicht für alle x

geht eher so  (irgendwie muss ja auch die Stetigkeit mit rein):

Es sei f(1) = f(-1) = a
und es sei f(0) = b

falls a=b gilt also f(o) = f(1) = f(0-1)   fertig!
falls a ungleich b 

Betrachte  g(x) = f(x) - f(x-1) ist dann auch stetig

( nach den üblichen Sätzen über Verkettung und
Addition stetiger Funktionen ) auf [ -1 ; 1 ] also auch auf [ 0 ; 1 ]

Dann ist g(1) = f(1) - f(0) = a - b und
                g(0) = f(0) - f(1) = b-a
Da a-b und b-a zwei Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen sind,
liegt 0 dazwischen.

Dann gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein x in [0;1] mit g(x)=0
also nach Def von g     f(x) - f(x-1) = 0
                                     also  f(x)  =  f(x-1)   q.e.d.