ist f auf I (-1,∞) stetige funktion?

Question

Aufgabe:

Die funktion sei gegeben durch

      ln(1+x)sin(1/x)  für x≠0

f(x)= 1                      für x=0

ist f auf I (-1,∞) stetige funktion ?
Problem/Ansatz:

… Ich habe beidseitige Grenzen berechnet und damit 0 erhalten.Das heißt F ist nicht stetig,da x=0 f(x)=1 ?

Ich würde mich über Erklärung freuen

Answer 1

Aloha :)

Der links- und rechtsseitige Grenzwert sind tatsächlich \(0\):$$\left|\sin\left(\frac1x\right)\right|\le1\implies\left|\ln(1+x)\sin\left(\frac1x\right)\right|\le\left|\ln(1+x)\right|\stackrel{(x\to0)}{\to}\ln(1)=0$$

Damit die Funkton stetig ist, müssen die beiden Grenzwerte gleich dem Funktionswert \(f(0)\) sein. Wegen \(f(0)=1\) ist das nicht der Fall, sodass die Funktion bei \(x=0\) nicht stetig ist.