Partialbruchzerlegung einer Reihe: 1/(k^2-1)

Question

Man soll mit einer Partialbruchzerlegung der Summanden die Konvergenz Reihe nachweisen und den Grenzwert berechnen.

\( \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^{2}-1} \)

Answer 1

es ist ja  (k^2 - 1) =  (k-1) * ( k+1)
also kann man  1 / (k^2 - 1)  in der Form  a /   (k-1)    +   b /  ( k+1) darstellen, das gibt

    (     a ( (k+1 )  +   b ( k -1 )  ) /    (k-1) * ( k+1)

        ( ak   +   a     + bk     -  b)   /   (k-1) * ( k+1)

        (  k (a+b)    + (a-b)    )   /     (k-1) * ( k+1)

vergleich mit 1 / (k^2 - 1)  zeigt   a+b = 0    und   a-b = 1

also    a=-b     und      -2b = 1    also   b = -0,5  und a dann +0,5.

Damit hast du 1 / (k^2 - 1)   =   -0,5 /   (k-1)    +   0,5 /  ( k+1)

Das Ergebnis setzt du für die Summanden ein und kannst dann 2 Reihen daraus machen.