Einer Kugel vom Radius r wird ein gerader Drehzylinder von größtem Volumen einbeschrieben. Berechne die Maße des Drehzylinders.
Zielfunktion:
\(V(R,h)=R^2πh\) soll maximal werden.
Nebenbedingung
\(R^2 + (\frac{h}{2})^2 = r^2\) Dies nun nach R^2 auflösen:
\(R^2 = r^2-\frac{h^2}{4} \) und in die Zielfunktion einsetzen:
\(V(h)=(r^2-\frac{h^2}{4}) πh\\=r^2πh-\frac{π}{4}\cdot h^3 \)
\(V'(h)=r^2π-\frac{3π}{4}\cdot h^2 \)
\(r^2π-\frac{3π}{4}\cdot h^2=0 \)
\(\frac{3π}{4}\cdot h^2=r^2π \)
\(h^2=\red{\frac{4r^2}{3}} \)
\(h=\frac{2r}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}r \sqrt{3} \)
\(R^2 = r^2-\frac{h^2}{4}=r^2-\frac{\red{\frac{4r^2}{3}}}{4}=\frac{2}{3}r^2 \)
\(R =r\sqrt{\frac{2}{3}}=r\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{r}{3}\sqrt{6} \)
