Diskutiere folgende Funktion.

Question

1) Gegeben sei die Funktion f mit f(x) =3·x⁴ -12·x³ +12·x² - 3

     a) Bestimmen Sie die Nullstellen , die Lage Art der Extremwerte sowie die Lage der Wendepunkte der Funktion f.

     b) Untersuche Sie das Monotonie,- sowie das Krümmungsverhalten der Funktion f .

     c) Stellen Sie die Funktion f grafisch dar.

3) Gegeben sei die Integralfunktion F_a (x) =∫^x_a ( 2t ² +4t) dt

a) Geben Sie den Term der Funktion F_a (x) explizit an.

b) Zeigen Sie ,dass die Ableitung von F_a (x)  gleich dem Term der Integrandenfunktion ist.

c) Nun sei a= 0. Für welchen Wert x gilt F₀ (x) = 4/3 ?

d) Für welche Werte a hat F_a (x) an der Stelle x= 2 eine Nullstelle? Bitte um Hilfe

Comments

erwartest du wirklich die ganze aufgabe ?

Stell doch eine konkrete Frage !

Answer 1

1) Gegeben sei die Funktion f mit \(f(x) =3 x^4 -12x^3 +12 x^2 -3\)
a) Bestimmen Sie die Nullstellen , die Lage Art der Extremwerte sowie die Lage der Wendepunkte der Funktion f.

Nullstellen:

Probieren mit \(x=1\)

\(f(1) =3  -3=0\) Somit ist bei  \(x=1\) eine Nullstelle.

Weiter mit Polynomdivision:

\((3 x^4 -12x^3 +12 x^2 -3):(x-1)=3x^3-9x^2+3x+3\)

Probieren mit \(x=1\)

Wieder ist hier eine Nullstelle, sie ist doppelt und somit auch eine Extremstelle.

Nun Polynomdivision mit \(x-1\)

\((3x^3-9x^2+3x+3):(x-1)=3x^2-6x-3\)

Mit den bekannten Mittel lassen sich nun die beiden weiteren Nullstellen berechnen.

\(3x^2-6x-3=0\)

\(x^2-2x=1\)

\((x-1)^2=2|±\sqrt{~~}\)

1.)

\(x-1=\sqrt{2}\)

\(x_1=1+\sqrt{2}\)

2.)

\(x-1=-\sqrt{2}\)

\(x_2=1-\sqrt{2}\)

Extremwerte:

Eine Extremstelle ist schon bei  \(x=1\) gefunden worden.

\(f'(x) =12 x^3 -36x^2 +24x \)

\(12 x^3 -36x^2 +24x=0 \)

\( x^3 -3x^2 +2x=0 \)

\( x(x^2 -3x +2)=0 \)  Satz vom Nullprodukt:

\(x_2=0 \)        \(f(0) = -3\)

\( x^2 -3x=-2 \) 

\( (x -1,5)^2=-2+1,5^2=0,25|±\sqrt{~~} \)

1.)

\( x -1,5=0,5 \)

\( x_2 =2 \)       \(f(2) =3 \cdot 16 -12\cdot 8 +12 \cdot 4 - 3=-3\)

2.)

\( x -1,5=-0,5 \)

\( x_3=1 \) siehe auch bei den Nullstellen

Art der Extremwerte:

\(f''(x) =36 x^2 -72x +24 \)

\(f''(0) =24>0 \) Minimum

\(f''(1) =36  -72 +24=-12<0 \) Maximum

\(f''(2) =36\cdot 4 -72\cdot 2 +24=24 >0 \) Minimum

Wendestellen:

\(36 x^2 -72x +24=0 \)

\( x^2 -2x =-\frac{2}{3} \)

\( (x -1)^2 =-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{3} \)

Weiter ausrechnen.

Die Wendepunkte lassen sich auch berechnen.

Comments

\((3x^3-9x^2+3x+3):(x^2-2x+1)=3x^2-6x-3\)

Falsch.

\(f(x) = -3\)

Auch falsch.

Weiter ausrechnen.

Die Wendepunkte lassen sich auch berechnen.

Da hatte man dann wohl keine Lust mehr.

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Hallo Moliets,

\((3x^3-9x^2+3x+3):(x^2-2x+1)=3x^2-6x-3\)

Hier musst du nur noch durch \((x-1)\) teilen, nicht durch \((x-1)^2\)

Alternativ: \((3x^4-12x^3+12x^2-3):(x^2-2x+1)=3x^2-6x-3\)

\(f(x_\green2)=-3\)

Gruß, Silvia

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Wenn man die Funktion mit den gefundenen Nullstellen in der Form:

f(x) = 3(x-1)⁴ - 6(x-1)²

schreibt, kann man die meisten Fragen leicht beantworten. Wegen der offensichtlichen Symmetrie bzgl. x=1 kann man sich bei der weiteren Betrachtung auch auf x ≥ 1 beschränken.

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Herzlichen Dank an Silvia und Jumanji.

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3)

a)  Gegeben sei die Integralfunktion

\(F_a (x) =\int\limits_{a}^{x}  ( 2t^ 2  +4t) dt=[\frac{2}{3}t^3+2t^2]_{a}^{x}\\=[\frac{2}{3}x^3+2x^2]-[ \frac{2}{3}a^3+2a^2  ]\)

b) Zeigen Sie, dass die Ableitung von Fa (x)  gleich dem Term der Integrandenfunktion ist.

\([\frac{2}{3}x^3+2x^2- \frac{2}{3}a^3-2a^2  ]'=2x^2+4x\)

c) Nun sei \(a= 0\). Für welchen Wert x gilt \(F_0 (x) = \frac{4}{3}\)

\(\frac{4}{3}=\frac{2}{3}x^3+2x^2 \)

\(x^3+3x^2-2 =0\)

Proben mit:

\(x=1\)       \(1+3-2 >0\)

\(x=-1\)      \((-1)^3+3\cdot (-1)^2-2 =0\)✓

Polynomdivision mit \(x+1\)

\((x^3+3x^2-2):(x+1) =x^2+2x-2\)

\(x^2+2x-2=0\)

\((x+1)^2=2+1^2=3|±\sqrt{~~}\)

1.)

\(x+1=\sqrt{3}\)

\(x_2=-1+\sqrt{3}\)

2.)

\(x+1=-\sqrt{3}\)

\(x_3=-1-\sqrt{3}\)

d) Für welche Werte a hat \(F_a (x)=\frac{2}{3}x^3+2x^2- \frac{2}{3}a^3-2a^2 \) an der Stelle \(x= 2\) eine Nullstelle.

\(F_a (2)=\frac{2}{3}\cdot 2^3+2\cdot 2^2- \frac{2}{3}a^3-2a^2\\=\frac{16}{3}+8- \frac{2}{3}a^3-2a^2\)

\(40-2a^3-6a^2=0\)

\(a^3+3a^2-20=0\)

Proben mit den Teilern von 20 ergibt für \(a=2\) eine Nullstelle.

Polynomdivision \((a^3+3a^2-20):(a-2)\) keine weiteren Nullstellen.

Answer 2

a)

Nullstellen

f(x) = 3·x^4 - 12·x^3 + 12·x^2 - 3 = 3·(x^4 - 4·x^3 + 4·x^2 - 1) = 0

Erste geratene Nullstelle bei x = 1 und Polynomdivision
(x^4 - 4·x^3 + 4·x^2 - 1)/(x - 1) = x^3 - 3·x^2 + x + 1

Zweite geratene Nullstelle bei x = 1 und Polynomdivision
(x^3 - 3·x^2 + x + 1)/(x - 1) = x^2 - 2·x - 1

Nullstellen des Restpolynoms über pq-Formel
x^2 - 2·x - 1 = 0 → x = 1 ± √2 → x = -0.4142 ∨ x = 2.4142

Extrempunkte

f'(x) = 12·x^3 - 36·x^2 + 24·x = 12·x·(x^2 - 3·x + 2) = 12·x·(x - 1)·(x - 2) = 0 → x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = 2

f(0) = -3 → TP(0 | -3)
f(1) = 0 → HP(0 | 0)
f(2) = -3 → TP(0 | -3)

Wendepunkte

f''(x) = 36·x^2 - 72·x + 24 = 36·(x^2 - 2·x + 2/3) = 0 → x = 1 ± √3/3 → x = 0.4226 ∨ x = 1.5774

f(1 - √3/3) = -5/3 = -1.6667 → WP(1 - √3/3 | -5/3)
f(1 + √3/3) = -5/3 = -1.6667 → WP(1 + √3/3 | -5/3)

b)

Im Intervall ]-∞ ; 0] streng monoton fallend.
Im Intervall [0 ; 1] streng monoton steigend.
Im Intervall [1 ; 2] streng monoton fallend.
Im Intervall [2 ; ∞[ streng monoton steigend.

Im Intervall ]-∞ ; 1 - √3/3] linksgekrümmt.
Im Intervall [1 - √3/3 ; 1 + √3/3] rechtsgekrümmt.
Im Intervall [1 + √3/3 ; ∞[ linksgekrümmt.

c)

~plot~ 3x^4-12x^3+12x^2-3;{-0.4142|0};{1|0};{2.4142|0};{0|-3};{2|-3};{0.4226|-1.6667};{1.5774|-1.6667} ~plot~