A(z)=(z-z'+2*Re(z))*z' vereinfachen und berechnen z€C gegeben.

Question

Gegeben sei der Ausdruck A(z)=(z-z'+2*Re(z))*z'

Überzeugen Sie sich durch eine geeignete Umformung davon, dass A(z)€R und A(z)≥0 gilt für alle z€C.

(Sie können das auch lassen, aber dann wird die nachfolgende Rechnung deutlich aufwändiger).

Im Falle \(z =\frac{3+5}{1+i} \) ist A(z) sogar eine natürliche Zahl. Welche ist das?

gesucht: A(z):

Z' (konjugiert) = \( \frac{1+i}{1+i} \)

z*z' = \(=\frac{3+5(1+i)}{1+i(1+i)} \) = \( \frac{3+3i+5i-5}{1^2-i^2} \) = \( \frac{-2+8i}{2} \)

--> Re(z) = -1 → 2*Re= -2

-->z-z'=\( \frac{3+5i}{1-i} \)-\( \frac{1+i}{1+i} \)= \( \frac{3+5i(1+i)}{2} \)-\( \frac{2}{2} \)=\( \frac{3+3i+5i-5}{2} \)=\( \frac{-4+2i}{2} \)

⇒(\( \frac{-4+2i}{2} \)-2)*z' = \( \frac{-4+2i-4}{2} \)*z' =  \( \frac{-8+2i}{2} \)* \( \frac{1+i}{1+1} \)=  \( \frac{-8-8i+2i-2}{2+2i} \)= \( \frac{-10-6i}{2+2i} \)∉R ≠≥0

?

Warum stimmt mein Ergebnis nicht und ich konnte die Tipps nicht anwenden

Answer 1

Sei \(z=a+bi\), dann ist

\(A(z)=(a+bi-(a-bi)+2Re(a+bi))(a-bi)=\)

\(=(2bi+2a)(a-bi)=2(a^2+b^2)\)

Comments

Ich wär nie drauf gekommen, das allgemein zu machen. . Danke dafür!

Answer 2

\(z =\frac{3+5}{1+i}=\frac{8}{1+i}=\frac{8*(1-i)}{(1+i)*(1-i)} =\frac{8-8i}{1-i^2}=\frac{8-8i}{1+1}=\frac{8-8i}{2}=4-4i\)

Comments

Oh man!

Ich habe mich vertippt. Ein i fehlt, aber ich habe es mitgemacht bei der Rechnung.

Z=\( \frac{3+5i}{1-i} \)

Sorry:/

Ich frage mich trotzdem wie ich so ein falsches Ergebnis bekommen habe.?

Edit:

Ich seh grad meinen Fehler, nämlich habe ich auch den Nenner falsch. Es ist 1-i und nicht 1+i.

Sehr ärgerlich und zugegeben etwas peinlich^^.