Polynomdivision mit Formvariable. z.b. f(x)=x³+ax²-4x-4a

Question

Polynomdivision mit Formvariable.

 

f(x)=x³+ax²-4x-4a

Ich muss ja eine Nullstelle erraten. Aber wie mache ich es wenn noch eine 2te unbekannte dabei ist ?

Answer 1

f(x) = x^3 + ax^2 - 4x - 4a

Ich klammer mal aus den Termen etwas aus

f(x) = x^2 * (x + a) - 4 * (x + a)

Nun kann ich auch noch (x + a) gesamt ausklammern

f(x) = (x^2 - 4) * (x + a)

Nun können wir aus dem ersten Term nach der 3. binomischen Formel noch eine Faktorzerlegung machen

f(x) = (x + 2) * (x - 2) * (x + a)

Jetzt können wir die Nullstellen ablesen bei

x = -2, x = +2 und x = -a

Comments

woher weis man wann diese methode funktioniert ?

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Du kannst zunächst immer x^2 und x ausklammern. Wenn dann in der Klammer das gleiche stehen bleibt funktioniert es. Du bekommst da ganz schnell ein Auge dafür.

Answer 2

Gehe vor wie sonst auch -> Bei einer ganzzahligen Nullstelle muss diese ein Teiler des Absolutgliedes sein.

Probiere also -2,-1,1,2 und außerdem a und -a.

Du wirst feststellen, dass es schon mit ersterem (x=-2) klappen wird und fürs restliche kannst du ja pq-Formel verwenden.

 

Wer ein geschicktes Auge hat, kann auch eine Polynomdivision mit dem Divisor (x+a) machen. Dann erübrigt sich sogar die Anwendung der pq-Formel ;).

 

(x³+ax²-4x-4a)/(x+a)=x²-4

 

Somit x₁=-a, x₂=-2 und x₃=2, wobei sich letztere aus dem dritten Binomi ergeben ;).

Comments

warum klappt das mit der -2 ?

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Setze es ein und schau was passiert:

 

x³+ax²-4x-4a -> (-2)³+a*(-2)²-4*(-2)-4a=-8+4a+8-4a=0

Und damit als Divisor geeignet (in Form (x+2)).

 

Klar? ;)

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also ist es egal ob ich mit -2 oder mit -a rechne

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Du kannst mit allen Zahlen/Parameter sinnvoll rechnen, welche die Funktion 0 werden lassen.

Das sind hier x=-2, x=2 und x=-a.

Geeignete Divisoren für eine Polynomdivision also (x+2), (x-2) und (x+a).

Answer 3

Ich würde x = -a 'raten'.

Damit kannst du die Polynomdivision bestimmt selbst druchführen.

 

mE ist Folgedes 'offensichtlicher'

f(x)=x³+ax²-4x-4a

erst ausklammern.

f(x)=x^2(x+a) - 4(x + a)

Binomische Formel benutzen

f(x) = (x^2 - 4) (x+a) = (x-2)(x+2)(x+a)

Jetzt kommst du bestimmt selbst weiter.