Berechnen Sie das Ergebnis folgender Summen für, soweit nicht weiter bestimmt, beliebiges n ∈ ℕ

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Ergebnis folgender Summen für, soweit nicht weiter bestimmt, beliebiges \( n \in \mathbb{N} \), vereinfachen Sie soweit wie möglich:

a) \( \sum \limits_{\ell=12}^{n}(2-5 \ell) \) für \( n \geq 12 \)

b) \( \sum \limits_{k=3}^{n}\left(9 \cdot 2^{5-2 k}\right) \) für \( n \geq 3 \)

c) \( \sum \limits_{k=-5}^{n}\left(2 \cdot 3^{k+4}-1\right) \)

Mathematik für Medieninformatik

Answer 1

Mal zu c)

Du subtrahierst hier eine Summe von lauter (-1)en von einer geometrischen Reihe.

Σ (2*3^{k+4} - 1) =  Σ (2*3^{k+4}) +  Σ ( - 1)  Summe von k=-5 bis n

= 2*3^{-1} + 2*3^0 + 2*3^1 + 2*3^2 + ... + 2*3^{n+4}

= 2/3 * (1 + 3 + 3^2 + 3^3 + .....3^{n+5} )  + ( -1 -1 -1.....-1)

= 2/3 ((1-3^{n+6})/(1-3))+(n+6)*(-1)

Bitte erst Summanden selbst nachzählen und dann Resultat noch kürzen / zusammenfassen.

Kontrolliere dein Resultat z.B. damit: Σ (2*3^{k+4} - 1) for k=-5 to k=n hier https://www.wolframalpha.com/input/?i=Σ+%282*3%5E%28k%2B4%29+-+1%29+for+k%3D-5+to+k%3Dn

Answer 2

zu a) ist ja eine arithmetische Reihe:
-58 + (-63) + (-68) + .....+ (2-5n)  mit    n-11 Summanden  und a=-58 und d=-5
und der letzte Summand kann auch (-58 + (n-12)*(-5)) geschrieben werden

mit der Formel für die Summe = (n/2) * (a + a_n)

also Summe= ((n-11)/2) * ( -58 + - 58 + (n-12)*(-5) )
                      =   ((n-11)/2) * ( -116  - 5n + 60)
                      = ((n-11)/2) * (-56-5n)   =  (n-11)(-56-5n) /2 
                        = ( - 5n^2 -n  + 616 ) / 2
               
b) geht mit geom. Reihe und bei c) machst du die Summe mit 2*3^{k+4}  (geometrisch)
und dann noch minus   (n+6) für die ganzen -1en