Ein Seil hängt zwischen zwei verschieden hohen Masten. Berechnen Sie b, x_{1}, x_{2} und den tiefsten Punkt des Seils.

Question

Ein Seil hängt zwischen zwei verschieden hohen Masten, die einen Abstand von \( d=100 \mathrm{~m} \) haben. Die Seilkurve habe die Gleichung:

\( y=a \cdot \cosh \left(\frac{x}{a}\right)+b \)

Berechnen Sie: \( b, x_{1}, x_{2} \) und den tiefsten Punkt des Seils.

Daten: \( a=500 \mathrm{~m}, \quad h_{1}=20 \mathrm{~m}, \quad h_{2}=25 \mathrm{~m} \)

Ansatz/Problem:

Ich habe noch nichts mit solchen Funktionen zu tun gehabt. Es wundert mich daher auch, warum ich diese Aufgabe erhalten habe. Ist mit b die Konstante gemeint? Ist das der Schnittpunkt mit der y-Achse? Kann ich schreiben: y = 500*cosh(x/500) + b? Wie muss ich weiter vorgehen.

Answer 1

Es ist cosh(x) = ( e^x + e^{-x} ) / 2

Damit kannst du das alles ganz normal berechnen und z.B.
auch die Ableitung bilden, für den tiefsten Punkt.
Außerdem kannst du ja ablesen
für x=0 ist y=b  Also, wenn f die Funktion ist,  f(0)=b
Das a ist gegeben und du hast    f(x1)=20   und  f(x1+100) = 25

Comments

 Danke für die Antwort.f(x) = a*cosh(x/a) + b 

f(x) = a*(e^{x/a} + e^-(x/a)) / 2  + b 

f(x) = 500*(e^{x/500} + e^-(x/500)) / 2  + b 

f(0) = 500*(e^{0/500} + e^-(0/500)) / 2  + b 

f(0) = 500*(1 +1)/2  + b  = 500 + b

Verstehe ich nicht. :/

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Pardon, war mein Fehler  nicht f(0)=bsondern wie du richtig gerechnet hast

f(0)=b+ 500  und mit den anderen beiden Gleichungen bekommst du

sicher das x1 und das b heraus.

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Ich weiß ehrlich gesagt nicht, was ich machen soll.

Was sagt mir das f(0)=b+ 500?

Und in wie fern kann ich x1 und x2  mit einbeziehen?

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f(x1)= 20

f(x2) = 25

x2 = x1 + 100

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Danke. Das verstehe ich, aber ich weiß nicht, wie ich auf das b kommen soll ...

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f(x1)=20   und  f(x1+100) = 25gibt wenn du es einsetzt zwei Gleichungen,

in denen jeweils das x1 und b drin sind.

Da kann man vermutlich eine nach b auflösen und bei der anderen einsetzen.

und so kriegt man dann x1 und b.

Denk ich mal.

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Ich stell hier gerade den größten Blödsinn auf.

Kann mir das jemand bitte vormachen?

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meine Komplettantwort kommt gleich. mfg Georg

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Derzeit scheint mir die Lösung sehr kompliziert zu sein, sodaß
mit einer schnellen Antwort nicht zu rechnen ist.
Ich bleibe aber dabei.

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Aber man muss das schon mt 2 Gleichungen machen und dann gleichsetzen, oder?

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https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function

Sums of arguments:
\( \begin{aligned} \sinh (x+y) &=\sinh (x) \cosh (y)+\cosh (x) \sinh (y) \\ \cosh (x+y) &=\cosh (x) \cosh (y)+\sinh (x) \sinh (y) \end{aligned} \)
particularly
\( \begin{array}{l} \cosh (2 x)=\sinh ^{2} x+\cosh ^{2} x=2 \sinh ^{2} x+1=2 \cosh ^{2} x-1 \\ \sinh (2 x)=2 \sinh x \cosh x \end{array} \)
Sum and difference of cosh and sinh:
\( \begin{aligned} \cosh x+\sinh x &=e^{x} \\ \cosh x-\sinh x &=e^{-x} \end{aligned} \)

Die 2. Formel könnte vielleicht helfen.

Du hast ja

20 = 500*cosh(x1/500) + b

und

25 = 500*cosh( (x1 + 100) / 500) + b

Also

b = 500*cosh(x1/500) -20 = 500*cosh((x1+100)/500) - 25

5 = 500*cosh((x1+100)/500) - 500*cosh(x1/500)

Nun beim linken Summanden mit der 2. Formel weiter (?)

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Danke sehr!
Genau so weit bin ich auch gerade eigenständig gekommen. Mit Additiontheremen vielleicht weiter.

Probiere ich mal aus.

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0.01 = 0.02cosh(x/500)+ 0.2sinh(x/500) gerundet aber richtig

Wie löse ich nach x auf?

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Dank dem rechten Teil von 'paritcularly' kannst du sinh durch cosh ausdrücken.

Dann z.B. cosh(x) = u substituieren.

Könnte eine quadratische Gleichung geben. (?)

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Verstehe ich leider  nicht. Wie kann ich das durch cosh ausdrücken?

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Da würde ich wieder auf die Darstellung mit e zurückkommen und

die Substitution  e^{x/500} = z  und e^{-x/500} = 1/z machen, dann gibt das

0.01 = 0.02cosh(x/500)+ 0.2sinh(x/500)

0.01 = 0.01 ( z+1/z)+ 0.1( z - 1/z)

Jetzt alles mal z und du hast eine quad. Gleichung für z

Answer 2

So jetzt habe ichs
x2 = 73,35 m
b = -480 m

Dies ist eine sehr, sehr, sehr komplizierte Aufgabe mit sehr, sehr,sehr
viel Rechnerei und Trick 17.

Wer hat dir die Aufgabe gegeben piknockyu ?

Ich müßte alles noch einmal ins Reine schreiben.

Wird die Aufgabe bei euch im Unterricht noch besprochen ?

Comments

boah, ich saß jetzt 5h dran und habe sie mit etwas Hilfe erfolgreich gelöst!

Mein Mathematik-Prof (1.Semester Maschinenbau) hat das als Hausaufgabe gegeben. Jetzt als ich sie verstanden habe, ist sie nicht mehr kompliziert. Ich habe 3 Varianten gefunden, und habe mich für die kürzeste entschieden. Meine Ergebnisse sind richtig. Du hast wohl einen Rundungsfehler bei x2 = 73,35 m, laut Löser: x2 = 74.9480 m.

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Meine Einschätzung : an dieser Aufgabe, im Matheabitur Leistungskurs gestellt,
würden 99 von 100 daran verzweifeln.  Ich hätte diese Aufgabe auch oberhalb
des Gymnasialstoffs angesiedelt.
Ein Rundungsfehler kann bei mir sein.

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Ich glaube noch weniger würden die hinkriegen.

Kommen im Abitur Hyperbolicus und Additionstheoreme überhaupt dran?

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Ja.
Aber so geballt wie in dieser Aufgabe nicht.

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Hier bei Interesse