Bijektiv und Umkehrabbildung von f(x,y) = (2x + 3, x − y).

Question

Sei f : IR × IR → IR × IR definiert durch f((x, y)) = (2x + 3, x − y). Zeigen Sie, dass f

bijektiv ist und bestimmen Sie die Umkehrabbildung f^-1

mir ist bewusst wie man Bijektivität zeigen kann und die Umkehrbildung bilden kann. Aber Mich bringt die definition durcheinander. 

Kann ich die klammern auflösen ? so das man nur F(x) und f(y) steht oder wie kann ich sonst vorgehen? Kann mir das jemand erklären bitte?

VG.

Comments

die Klammern wegzulassen würde ja kein sinn machen außerdem willst du ja die ganze Funktion und nicht nur eine Komponente betrachteten. Wie genau würdest du denn anfangen und wo genau stösst du auf dein Problem?

Gruß

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Ich kenne das bis jetzt nur das wir eine Funktion f(x) hatten und davon dann die bijektivität gezeigt haben, aber ich weiß jetzt nicht weil da f(x,y) steht.  f(a,b)= f(c,d)
2a+3,a-b= 2c+3,c-d 
 kann ich so was dann machen, dann muss ich das ja soweit umformen bis a.b=c,d steht und somit würde ich ja die injektivität zeigen, aber ich weiß nicht so ganz ob das so klappt und wie ich dann die surketivität zeige....

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Zwei Punkte im \( \mathbb{R}^n \) sind gleich wenn ihre Komponenten übereinstimmen. Also sollst du überprüfen, was daraus folgt, dass

2a + 3 = 2c + 3 und 

a-b = c-d

Um die Surjektivität zu zeigen gibt es mehrere Wege, die zum selben Ergebnis führen. Einer wäre zu zeigen, dass es \( \forall (a,b) \in \mathbb{R}^2 \) mindestens ein Element \( (x,y) \in \mathbb{R}^2 \) gibt, so dasss

f(x,y) = (a,b)

also sollst du zeigen, dass das LGS

2x+ 3 = a

x - y = b

mindestens eine Lösung hat.

Ansonsten hat dir Lu auch eine gute Antwort gegeben.

Answer 1

Hier mal ein Rechenweg: 

f((x, y)) = (2x + 3, x − y)

 f((x, y)) = (2x + 0y, x − y)  + (3, 0)

(u,v) = ((2,0), (1,-1)) * (x, y) + (3,0)     |nach (u,v) auflösen.

(u,v) - (3,0) = ((2,0), (1,-1)) * (x, y)       | von links mit inverser Matrix multipizieren.

((2,0), (1,-1))^{-1}* (u-3 , v) = (x,y)

u und v in x und y umbenennen, wenn du f^{-1} ((x,y) ) hinschreibst.

Wenn du die Umkehrabbildung angeben kannst, und da beliebige x und y einsetzen kannst, ist Bijektivität eigentlich gezeigt.