IV: Also, wir nehmen an es gelte
$$\sum_{i=1}^n~i=\frac{n(n+1)}{2}\qquad\text{für ein}~n\in\mathbb{N}$$
IS: $$\sum_{i=1}^{n+1}~i=\sum_{i=1}^{n}~(i)+(n+1)$$
Zwischenbemerkung: Ich vermute das meintest du mit der Summenumformung. Am besten mal aufschreiben, dann wirds ganz eindeutig (natürlich nur mit _endlich_ vielen ;-) ).
Du summierst ja einfach alle natürlichen Zahlen von 1 bis n+1 (was wirklich einfach nur nochmal n und eins mehr ist, damit kann man dann ganz normal rechnen, die Klammern sind zur Verdeutlichung gesetzt).
Den letzten Summanden kannst du aus der Summe rausziehen, dann summierst du nur noch bis n, wie in der IV und n+1 kommt noch "extra" hinten dran. Die IV kannst du jetzt einsetzen:
$$\sum_{i=1}^{n}~(i)+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$$
Jetzt erweiterst du die Klammer mit 2, dann kannst du die Brüche zusammenziehen und ausmultiplizieren
$$\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\frac{n^2+n+2n+2}{2}$$
Wieder ein Produkt draus basteln:
$$\frac{n^2+n+2n+2}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$
Und zum verdeutlichen noch etwas anders aufschreiben:
$$\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}$$
Jedes n ist so durch n+1 ersetzt.
Edit: ok, da war wer schneller. Egal, Übung ist Übung. :-)