Vollständige Induktion für Σ i = (n·(n+1))/2

Question

∀n∈ℕ,n>0:

$$ ∀n∈ℕ,n>0:\sum _{i=1}^{n}{i}=\frac { n(n+1) }{ 2 } $$

Ich wähle A(n₀) wähle ich 1, da ja n>0 sein muss :)

Und das stimmt, denn

$$ \sum _{i=1}^{1}{1}=\frac { 1(1+1) }{ 2 } $$ und das stimmt

Jetzt muss ich ja zeigen, dass es auch für (n+1) gillt, aber diese Umformung der Summe verstehe ich nicht ganz. Es gibt ja einen kleinen Trick bei der Umformung,aber das verstehe ich nicht..... kann mir das jemand bitte ausführlich erklären?

Answer 1

IV: Also, wir nehmen an es gelte

$$\sum_{i=1}^n~i=\frac{n(n+1)}{2}\qquad\text{für ein}~n\in\mathbb{N}$$

IS: $$\sum_{i=1}^{n+1}~i=\sum_{i=1}^{n}~(i)+(n+1)$$

Zwischenbemerkung: Ich vermute das meintest du mit der Summenumformung. Am besten mal aufschreiben, dann wirds ganz eindeutig (natürlich nur mit _endlich_ vielen ;-) ).

Du summierst ja einfach alle natürlichen Zahlen von 1 bis n+1 (was wirklich einfach nur nochmal n und eins mehr ist, damit kann man dann ganz normal rechnen, die Klammern sind zur Verdeutlichung gesetzt).

Den letzten Summanden kannst du aus der Summe rausziehen, dann summierst du nur noch bis n, wie in der IV und n+1 kommt noch "extra" hinten dran. Die IV kannst du jetzt einsetzen:

$$\sum_{i=1}^{n}~(i)+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$$

Jetzt erweiterst du die Klammer mit 2, dann kannst du die Brüche zusammenziehen und ausmultiplizieren

$$\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\frac{n^2+n+2n+2}{2}$$

Wieder ein Produkt draus basteln:

$$\frac{n^2+n+2n+2}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$

Und zum verdeutlichen noch etwas anders aufschreiben:

$$\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}$$

Jedes n ist so durch n+1 ersetzt.

Edit: ok, da war wer schneller. Egal, Übung ist Übung. :-)

Comments

Hi :)

ja genau das meinte ich mit der Summenumformung :)

Wenn ich das jetzt so sehe ...verstehe ich das, aber bei anderen Aufgaben kann ich das nicht anwenden :(

(Nur zu Info: Ich bin noch Schüler) also nicht denken, dass ich ein Student bin :)

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Ist alles Übungssache. Manchmal kann man halt auch "untere" Summanden rausziehen oder muss Grenzen verschieben usw. An der Uni (studiere kein Mathe, muss nur Mathe mitbelegen) lässt man dich allen möglichen Kram per Induktion beweisen (da sind dann Summen noch am schönsten).
Irgendwann bekommt man da ein gewisses Gefühl für :-)

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Was kann man denn noch mit Induktion beweisen?^^ interessiert mich nur :)

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z.b. $$n^3-n \qquad\text{ist immer durch 3 teilbar}$$

oder

$$5^n-1 \qquad\text{ist immer durch 4 teilbar}$$

oder die bernoullische Ungleichung. :-)

Answer 2

Hi Emre :-)

∑_i=1ⁿ i = n * (n+1) / 2

∑_i=1ⁿ⁺¹ i = n * (n+1) / 2 + n + 1 = n * (n+1) / 2 + 2n/2 + 2/2 = [n * (n + 1) + 2n + 2]/2

Zu zeigen ist jetzt, dass

[n * (n + 1) + 2n + 2] = (n + 1) * (n + 2)

[n * (n + 1) + 2n + 2] = n² + 3n + 2

(n + 1) * (n + 2) = n² + 2n + n + 2 = n² + 3n + 2

Vielleicht hilft Dir das ein wenig weiter :-)

Lieben Gruß

Andreas