Question

Was ist mit Projektionsmatrix oder Projektionsabbildung gemeint?

Und wie müsste ich das bei dieser Aufgabe lösen?

\( A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -2 \\ -1 & 5 & 2 \\ 1 & -3 & 8 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -2 & -1 & -1 \\ 3 & -1 & 4 \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \)
und den Vektor
\( \vec{v}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ -1 \end{array}\right) \)

Answer 1

Eine Projektion ist eine Abbildung, die mehrfach nacheinander angewendet immer noch die gleiche Abbildung ist, wie wenn man sie einmal anwendet.

D.h. für die Abbildungsmatrix A gilt A^2 = A.

Für deine Aufgabe (e) musst du nur feststellen, was die Bildvektoren die Basisvektoren e1= (1,0,0), e2= (0,1,0) und e3 = (0,0,1) sind und diese dann der Reihe nach als Spaltenvektoren in die Abbildungmatrix A schreiben.

e1' = e1

e2' = e2.

Für e3' gilt

e3' = (a,b,0) , wobei (0,0,1) + k*v = e3'

Also (a,b,0) = (0,0,1) + k*v mit den Unbekannten a,b und k.

Schreibe das in 3 Komponentengleichung um und bestimme k, a und b.

a = 0 + k*v1        (I)

b = 0 + k*v2        (II)

0 = 1 + kv3            (III)

Weil v3 = -1 ==> k = 1

Also a = 1*3

und b = 1*5

Daher e1' = (3, 5, 0)

Die gesuchte Matrix A ist

( 1, 0, 3

0, 1, 5                      = A

0,  0, 0 )

Kontrolle: Rechne A * A. Es sollte A rauskommen.

Comments

Nein nicht wirklich. Ich scheitere schon an der Definition . Könntest du mit vielleicht ein konkretes Beispiel zeigen? Ich finde im Netz nichts gescheites.

Und was meinst du mit Komponentengleichung?

Tut mir Leid ich frage zuviel.

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Beispiel: Schattenwurf im Sonnenlicht ist eine Projektion auf den Boden.

Der Schatten selbst hat als Schatten wieder sich selbst.

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Der schatten selbst hat als Schatten wieder sich selbst.??????

Bleiben die Punkte des Schatten immer gleich oder wie??

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Ja das Sonnenlicht verschiebt ja einen Schatten oder ein anderes Bild am Boden nicht. Diese bestehen nur aus sog. Fixpunkten.

EDIT: Habe oben noch die gesuchte Matrix berechnet. Bitte zumindest nachrechnen.

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Ich habe versucht es nachzurechnen aber ich kann es nicht nachvollziehen. Wieso wird ausgerechnet mit dem dritten Einheitsvektorngerechnet? Und wozu wird a , b, und k ausgerechnet?
Gilt  A^2 = A immer bei Projektionsaufgaben?

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 Wieso wird ausgerechnet mit dem dritten Einheitsvektorngerechnet? 

Die andern beiden bleiben ja fix. Vgl. Diskussion oben.

Und wozu wird a , b, und k ausgerechnet? 

Mach dir mal eine Skizze. Link unten führt zu ein paar Skizzen, die dir hier helfen.

Gilt  A² = A immer bei Projektionsaufgaben? 

Bei Matrizen für Projektionen :) Projektionen sind so definiert.

https://de.wikipedia.org/wiki/Projektion_(lineare_Algebra)#Definition