Ausmultiplizieren eines Terms

Question

Ich habe ein Problem beim vereinfachen eines Terms. Irgendwie mache ich immer wieder einen Fehler und ich weiß einfach nicht wo.

Der Term lautet:

(2*(x-1)*(2*(x-2)*x^2+2*(x-2)^2*x)-2*(x-2)^2*x^2) / ((x-2)^4*x^4)

Bitte schreibt dazu auch Rechenschritte auf, da ich das Ergebnis bereits habe, nur noch nicht weiß wie ich darauf komme.

Comments

Tipp: Kürze erst mal so weit möglich. Ausmultiplizieren macht dir die Arbeit in der Regel eher schwieriger.

(2*(x-1)*(2*(x-2)*x²+2*(x-2)²*x)-2*(x-2)²*x²) / ((x-2)⁴*x⁴)      |kürzen mit (x-2)

= (2*(x-1)*(2*x²+2*(x-2)*x)-2*(x-2)*x²) / ((x-2)^3*x⁴)          | kürzen mit x.

= (2*(x-1)*(2*x+2*(x-2))-2*(x-2)*x) / ((x-2)^3*x^3)

Nun möglichst schlau weitermachen. Nur minimalistisch ausmultiplizieren.

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Könnte ich jetzt theoretisch weiter kürzen?

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Danke, war sehr hilfreich.  Bin jetzt auf das richtige Endergebnis gekommen.

Answer 1

(2·(x - 1)·(2·(x - 2)·x^2 + 2·(x - 2)^2·x) - 2·(x - 2)^2·x^2)/((x - 2)^4·x^4)

(2·(x - 1)·2·(x - 2)·x^2 + 2·(x - 1)·2·(x - 2)^2·x - 2·(x - 2)^2·x^2)/((x - 2)^4·x^4)

(2·(x - 1)·2·(x - 2)·x + 2·(x - 1)·2·(x - 2)^2 - 2·(x - 2)^2·x)/((x - 2)^4·x^3)

(2·(x - 1)·2·x + 2·(x - 1)·2·(x - 2) - 2·(x - 2)·x)/((x - 2)^3·x^3)

(4·x·(x - 1) + 4·(x - 1)·(x - 2) - 2·x·(x - 2))/((x - 2)^3·x^3)

(4·x^2 - 4·x + 4·x^2 - 12·x + 8 + 4·x - 2·x^2)/((x - 2)^3·x^3)

(6·x^2 - 12·x + 8)/((x - 2)^3·x^3)

2·(3·x^2 - 6·x + 4)/(x^3·(x - 2)^3)

Comments

Wo kommt denn in dem zweiten Teil das 2*(x-1) her? Und wenn man kürzt, wieso kürze ich dann vor und nach dem Minus und nicht nur in einem Teil?

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Ausmultiplizieren mit dem Distributivgesetz

2·(x - 1)·(a + b) = 2·(x - 1)·a + 2·(x - 1)·b

Wenn man kürzt dann aus jedem Summanden und nicht nur aus einem.

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Okay, das macht Sinn. Ich habe nun aber wieder das selbe Problem bei der dritten Ableitung. Ich weiß jetzt nicht genau was ich kürze. Ich habe da eine Vermutung gehabt, aber die scheint nicht richtig.

Soweit bin ich:

(2*(x-2)^3*x^3*(6x-6)-2*(3*x^2-6*x+4)*(3*(x-2)^2*x^3+3*(x-2)^3*x^2)) / ((x-)^6*x^6)

Ich weiß, dass ich unten wieder ein bisschen was wegkürzen muss, aber wie viel und von wo?

Ich muss am Ende auf (-(24*x^3)+72*x^2-96*x+48) / (x^8-8*x^7+24*x^6-32*x^5+16*x^4)  kommen.

Vielen Dank schon einmal.

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Meinst du

(2·(x - 2)^3·x^3·(6·x - 6) - 2·(3·x^2 - 6·x + 4)·(3·(x - 2)^2·x^3 + 3·(x - 2)^3·x^2))/((x - 2)^6·x^6)

(12·(x - 2)^3·x^3·(x - 1) - 2·(3·x^2 - 6·x + 4)·(3·(x - 2)^2·x^3 + 3·(x - 2)^3·x^2))/((x - 2)^6·x^6)

(12·(x - 2)^3·x·(x - 1) - 2·(3·x^2 - 6·x + 4)·(3·(x - 2)^2·x + 3·(x - 2)^3))/((x - 2)^6·x^4)

(12·(x - 2)·x·(x - 1) - 2·(3·x^2 - 6·x + 4)·(3·x + 3·(x - 2)))/((x - 2)^4·x^4)

(12·(x - 2)·x·(x - 1) - 2·(3·x^2 - 6·x + 4)·(6·x - 6))/((x - 2)^4·x^4)

(12·(x - 2)·x·(x - 1) - 12·(3·x^2 - 6·x + 4)·(x - 1))/((x - 2)^4·x^4)

12·(x - 1)·((x - 2)·x - (3·x^2 - 6·x + 4))/((x - 2)^4·x^4)

12·(x - 1)·(- 2·x^2 + 4·x - 4)/((x - 2)^4·x^4)

-24·(x - 1)·(x^2 - 2·x + 2)/((x - 2)^4·x^4)

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Ja, so meinte ich das. Habs jetzt auch verstanden.