Lineare Unabhängigkeit zeigen, im Vektorraum zeigen, wie?

Question

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(Lineare Unabhängigkeit)

Zeigen Sie: 1,√2,√3,√6

sind im ℚ-Vektorraum ℝ linear unabhängig.

Wie funktioniert sowas? Wie zeig ich das?

Answer 1

nun ja, als Ansatz würde ich sagen, dass der eindimensionale Q-Raum ja nur rationale Zahlen enthält. es steht also die Frage im Raum, ob sich die Irrationalen Wurzel durch linearkombination mit rationalen Faktoren bilden lassen, also z.B.

$$ a\sqrt { 2 } =b\sqrt { 3 } $$ mit $$ a,b \in Q$$

da dann aber gilt

$$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt { 3 }}{\sqrt { 2 }}$$

ist der Bruch a/b offensichtlich nicht mehr rational. Linaerkombination in Q nicht möglich-> Linear unabhängig.

Aber das ist nur eine erste Idee, da die Aussage "sind im ℚ-Vektorraum ℝ linear unabhängig." etwas schwammig ist.